Seconda prova di Matematica

Quesito di calcolo numerico / combinatorio / probabilità


(Discussione) – SB (Small Basic) – PY (Python) – 4AA – 5AA – 5BA


2019


8 “Simulazione 1”

Se si lancia una moneta 2 volte, la probabilità di ottenere una testa e una croce (in qualsiasi ordine) è pari al 50%.
Se la moneta viene lanciata 4 volte, la probabilità di ottenere due teste e due croci, in qualsiasi ordine, è ancora pari al 50%?
Motiva la tua risposta.


2018


2

Si dispone di due dadi uguali non bilanciati a forma di tetraedro regolare con le facce numerate da 1 a 4.
Lanciando ciascuno dei due dadi, la probabilità che esca 1 è il doppio della probabilità che esca 2, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 3, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 4.
Se si lanciano i due dadi contemporaneamente, qual è la probabilità che escano due numeri uguali tra loro?


8

In un gioco a due giocatori, ogni partita vinta frutta 1 punto e vince chi per primo raggiunge 10 punti.
Due giocatori che in ciascuna partita hanno la stessa probabilità di vincere si sfidano.
Qual è la probabilità che uno dei due giocatori vinca in un numero di partite minore o uguale a 12?


2017


8

Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da 1 a 12.
Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero 3 si presenti con una probabilità p doppia rispetto a ciascun’altra faccia.
Determinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero 3 esca almeno 2 volte.


9

Dimostrare che l’equazione \arctan x +x^3+e^x=0 ha una e una sola soluzione reale.


2016


4 PNI PY

Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta.
Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande.
Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?


7 PNI

Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura.
Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa.
Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d’angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?


2015


3 PNI

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più” due volte?
Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno” due volte?


8 PNI   

I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm.
Preso a caso un punto P all’interno del triangolo, qual è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo?


2014


3

Nello sviluppo di \left(2a^2-3b^3 \right)^n compare il termine -1080a^4b^9.
Qual è il valore di n?


3 PNI PY

Venti palline sono poste in un’urna.
Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche.
Dall’urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline.
Si valutino le seguenti probabilità: esattamente una pallina è rossa; le tre palline sono di colori differenti.


5 PY 

Dei numeri 1, 2, 3, …, 6000, quanti non sono divisibili né per 2, né per 3, né per 5?


7 PNI

Se f\prime(x)=\ln x-x+2, per quale dei seguenti valori approssimanti di x, f ha un minimo relativo?

  • A=5,146
  • B=3,146
  • C=1,000
  • D=0,159
  • E=0

8 PNI  SB

La zara è un gioco d’azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale – ne parla anche Dante nella Divina Commedia – e si giocava con tre dadi.
Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10.


2013


5

In un libro si legge: “Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano conto che a un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% oppure del 25%) corrispondano aumenti di capacità (volume) di circa il 33% (oppure 75% oppure 100%: raddoppio).”
È così? Si motivi esaurientemente la risposta.


5 PNI

In un libro si legge: “Se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1,14%) mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè del 0,76%).”
È così? Si motivi esaurientemente la risposta.


6 – 6 PNI

Con le cifre da 1 a 7…


7 PNI

In un gruppo di 10 persone il 60% ha gli occhi azzurri.
Dal gruppo si selezionano a caso due persone.
Qual è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri?


10 PNI

Si stabilisca per quali valori k\in\mathbb{R} l’equazione x^2(3-x)=k ammette due soluzioni distinte appartenenti all’intervallo [0; 3].
Posto k=3, si approssimi con 2 cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.


2012


P2 PNI


2 PNI  

Una moneta da 1 euro (il suo diametro è di 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?


5 – 5 PNI

Siano dati nello spazio n punti P1, P2, P3, …, Pn.
Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due?
Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)?
Quanti i tetraedri (supposta che nessuna quaterna sia complanare)?


8 PNI

Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C).
Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi e di questi il 10% sono difettosi.
Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi.
Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi.
Sapendo che un pezzo è difettoso, con quanta probabilità esso proviene dallo stabilimento A?


2011


P1 PNI


P2 PNI


4 – 4 PNI

Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3.
Si trovi n.


7

Si provi che l’equazione x^{2011}+2011x+12=0 ha una sola radice fra -1 e 0.


7 PNI  PY

Un test d’esame consta dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta fra quattro alternative.
Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risultino corrette?


8 PNI

In cosa consiste il problema della quadratura del cerchio?


2010


P2 PNI


4 PNI

Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione f(x)=\sqr[3]{x}+x^3-1.
Come si può essere certi che esiste un unico zero?


7 PNI

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina.
La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina.
Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli.
Si chiede: qual è la probabilità che anche l’altro figlio della sig.ra Anna sia femmina?
Si argomenti la risposta.


8 – 8 PNI   

Se n>3 e {n \choose n-1},\ {n \choose n-2},\ {n \choose n-3} sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?


2009


P2 PNI


3 PNI  

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?


6 PNI

Con l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione \sin x = 0, con punto iniziale x_0=3.
Cosa si ottiene dopo due iterazioni?


7 – 7 PNI  

Si dimostri l’identità {n \choose k+1} ={n \choose k}\frac{n-k}{k+1} dove n e k naturali e n > k.


8

Si provi che l’equazione x^{2009}+2009x+1=0 ha una radice compresa fra -1 e 0.


8 PNI

Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni.
Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?


2008


P1 PNI


P2 PNI


1 PNI

Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta.
Si scelga a caso un punto all’interno del cono.
Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.


4 Suppletiva

Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte testa.

5 Suppletiva

Si dimostri che l’equazione (3-x)e^x-3=0 per x > 0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.


5 Europa

Si dimostri che l’equazione x^7+5x+5=0 ha una sola radice reale.


6  

Se {n \choose 1}, {n \choose 2}, {n \choose 3}, con n>3, sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?


9 PNI

In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti.
Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse.


10 Suppletiva

Tenuto conto che  \displaystyle \frac{\pi}{6}=\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d’integrazione numerica studiati.


2007


5 Suppletiva

Si dimostri che l’equazione e^x-x^3=0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.


6

Si sa che il prezzo p di un abito ha subito una maggioranza del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni.
Che cosa si può dire del prezzo finale?


6 PNI   

Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha una lunghezza 3.
Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.


6 Suppletiva

Si scelga a caso un punto P all’interno di un cerchio.
Si determini la probabilità che esso sia più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio.


8  

Si risolva l’equazione: 4{n \choose 4} =15{n-2 \choose 3}.


8 PNI

A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre centenario della nascita, si deve il seguente problema: “Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro.
Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono.
Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima.
A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro si sedette a giocare.”


10 Suppletiva

Si risolva la disequazione {x \choose 3}\ > \ \frac{15}{2}\ {x \choose 2}.


10 PNI Suppletiva

Si risolva la disequazione 5{x \choose 3}\le{x+2 \choose 3}.


2006


4 PNI

Si dimostri che l’equazione \sin x=x-1 ha una e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima.
Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α con la precisione voluta.


5 – 5 PNI

Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a+b)^n è uguale a 2^n per ogni n \in \mathbb{N}.


7 PNI

Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici del secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda «che cos’è la probabilità?» era solito rispondere: «la probabilità non esiste!».
Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla a una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?


8 PNI

Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.
Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?


10 PNI  PY

Tenuto conto che \displaystyle \frac{\pi}{4}=\int_{0}^1\, \frac{dx}{1+x^2} calcola un’approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.


2005


P2 – P2 PNI


6

Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?


7

Se f(x)=x^4-4x^3+4x^2+3, per quanti numeri reali k è f(k)=2?
Si illustri il ragionamento seguito.


7 PNI

Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?


9 PNI

Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando 2 dadi?
Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci?
E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?


10 PNI

Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più.
Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni?
Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.


2004


P1 PNI


P2 PNI


4

Dimostrate che l’equazione e^x+3x=0 ammette una e una sola soluzione reale.


4 PNI

Dati gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c} quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?


9 PNI

Si dimostri che l’equazione e^x+3x=0 ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.


10

Considerate gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?


2003


P2 PNI

… si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti …


1 PNI

Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?


2 PNI

Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.
Qual è la probabilità che essa sia difettosa?


4 PNI

Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.


5

La funzione 2x^3-3x^2+2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse.
Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.


6 PNI

Si vuole che l’equazione x^3+bx-7=0 abbia 3 radici reali.
Qual è un possibile valore di b?


7 PNI  PY

Verificare l’uguaglianza \displaystyle \pi=4\int_{0}^1\, \frac{1}{1+x^2}\,dx e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di pi greco, applicando un metodo di integrazione numerica.


9

Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto.
Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.


10 PNI

Verificare che l’equazione x^3-3x+1=0 ammette tre radici reali.
Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.


2002


P1 PNI


P2 PNI


1 PNI

Se a e b sono numeri positivi assegnati qual è la loro media aritmetica?
Qual è la media geometrica?
Quale delle due è più grande? E perché?
Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?


2 PNI

Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610-1685), amico di Blaise Pascal: “Giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?!”


3 PNI

Assumendo che i risultati X, 1, 2 delle 13 partite di Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.


4

Si consideri…


7

Data la funzione f(x)=e^x-\sin x -3x calcolarne i limiti per x che tende a +∞ e -∞ e provare che esiste un numero reale α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla.


2001


P2 PNI

c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione della intersezione positiva di Γ con l’asse x.


2 PNI

Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione xe^x+xe^{-x}-2=0.


6

Dimostrare che si ha {n \choose k} ={n-1 \choose k} +{n-1 \choose k-1} dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0.


6 PNI  PY

Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un’approssimazione dell’integrale definito \displaystyle \int_{0}^\pi\, \sin{x}\,dx e si confronti il risultato con il valore esatto dell’integrale.


7 PNI

Verificato che l’equazione x-e^{-x}=0 ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1 se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.


8 PNI

Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze.
Tra i 16 allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?


1997


3 PNI Suppletiva

La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni di un campione di nuclidi se il campione è sufficientemente numeroso.
Un campione radioattivo contengo 2·1010 nuclidi ciascuno dei quali ha una probabilità p=10-10 di decadere in un secondo.
Calcolare

  1. il numero medio atteso di decadimenti al secondo;
  2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo;
  3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo.

1993


3 PNI

Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza.
I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente.
A e B hanno probabilità p (0<p<1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta.

  1. Si calcoli la probabilità che l’imputato sia assolto.
  1. Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D che ha una probabilità di decidere per l’assoluzione p’≠p (0<p'<1), si verifichi che la probabilità di assoluzione per l’imputato è maggiore che nel caso precedente se e solo se p’ > 1/2.

3 PNI Suppletiva

Una macchina produce pezzi meccanici.
Ogni pezzo prodotto ha una probabilità 0 < p < 1 di essere funzionante e probabilità q=1-p di essere difettoso.

  1. Presi a caso k pezzi prodotti si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
    • E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
    • E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
    • E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
  2. Per ogni k si determini p in modo tale che p(E1)=p(E2).
  3. Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
  4. Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

1990 PY

Si scriva un programma che produca i numeri primi inferiori a 100.000.
Si calcoli quanti sono i numeri primi che cadono in ciascuno dei seguenti intervalli

  • 1 – 1.000
  • 1.001 – 2.000
  • 2.001 – 3.000
  • 99.001 – 100.000.


RISORSE ONLINE

Numerosi siti sono dedicati alla risoluzione dei problemi e dei quesiti della seconda prova di matematica

  1. Matematica.it: Risoluzione dei temi di Matematica assegnati all’esame di Stato di Liceo scientifico nella 2^ prova scritta
  2. Zanichelli.it: La seconda prova di matematica
  3. Math.it: Esame di Stato
  4. Istruzione.it: Esame di Stato
  5. Roberto Bigoni: Problemi d’Esame PNI
  6. la MatePratica: Temi svolti per la maturità – Seconda prova di matematica
  7. Matematica e Scuola: Esame di Stato
  8. Matdidattica: Temi svolti di Esami di Stato del Liceo Scientifico
  9. Matefilia: Esame di Stato

PDF

  1. Rotupitti.it – Matematica alla maturità – Tracce dei temi assegnati agli esami di stato di Liceo Scientifico 1923-2016

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