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E.S. 2019 – 5

Si lanciano 4 dadi con facce numerate da 1 a 6

  1. Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi 5?
  2. Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?
  3. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

1. Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi 5?

  • Osserva
    1. 1+1+1+1 = 4
    2. 1+1+1+2 = 5
    3. 1+1+2+1 = 5
    4. 1+2+1+1 = 5
    5. 2+1+1+1 = 5
  • Ci sono 5 possibili esiti (su 6^4) con somma che non superi 5
  • p(X <= 5) = 5/1296 = 0,003858… = 0,3858… %

2. Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?

  • p(x multiplo di 3) = p(x=3 oppure x=6) = p(x=3)+p(x=6) = 2/6 = 1/3
  • p(x non è multiplo di 3) = 1-p(x multiplo di 3) = 1-1/3 = 2/3
  • p(X=x1·x2·x3·x4 non è multiplo di 3)
    = p(x1 non multiplo di 3 ∧ x2 non multiplo di 3 ∧ x3 non multiplo di 3 ∧ x4 non multiplo di 3)
    = p(x1 non multiplo di 3) · p(x2 non multiplo di 3) · p(x3 non multiplo di 3) · p(x4 non multiplo di 3)
    = (2/3)^4 = 16/81
  • p(X= x1·x2·x3·x4 multiplo di 3) = 1 – p(X=x1·x2·x3·x4 non è multiplo di 3) = 1-16/81
    = 65/81 = 0,802469… = 80,2469… %

3. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

  • Sia z=1, 2, 3
  • Gli esiti favorevoli sono
    n. 4 Esiti Quanti? Cioè…
    1 4,z,z,z
    z,4,z,z
    z,z,4,z
    z,z,z,4
    27
    27
    27
    27
    {4 \choose 1}\cdot 3\cdot 3\cdot 3
    2 4,4,z,z
    4,z,4,z
    4,z,z,4
    z,4,4,z
    z,4,z,4
    z,z,4,4
    9
    9
    9
    9
    9
    9
    {4 \choose 2}\cdot 3\cdot 3
    3 4,4,4,z
    4,4,z,4
    4,z,4,4
    z,4,4,4
    3
    3
    3
    3
    {4 \choose 3}\cdot 3
    4 4,4,4,4 1 {4 \choose 4}
  •  In tutto sono 175
  • p(…) = 175/1296 = 0,135… = 13,5… %

3. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4? (Il valore 4 potrebbe anche non essere uscito?)

  • Sia q=1, 2, 3, 4
  • p(x=q) = 4/6 = 2/3
  • p(x1, x2, x3, x4, max 4)
    = p(x1 <= 4 ∧ x2 <= 4 ∧x3 <= 4 ∧ x4 <= 4)
    = p(x1 <= 4) · p(x2 <= 4) · p(x3 <= 4) · p(x4 <= 4)
    = (2/3)^4
    = 16/81 = 0,1975… = 19,75 %

Giochi equi…

In ordine alfabetico


Di due diverse lotterie sono stati venduti, rispettivamente, 400 e 350 biglietti.
Avendo acquistato 15 biglietti della prima e 18 biglietti della seconda, in quale delle due lotterie si ha la maggior probabilità di vincere?


 Nel seguente gioco due giocatori estraggono una carta dal mazzo:

  • Il primo giocatore vince 3 € se esce una carta di fiori e vince 5 € se esce una carte di picche
  • Il secondo giocatore vince 4 € se esce una carta rossa

Il gioco è equo?


 Nella seguente situazione di gioco effettuato con un mazzo di 40 carte si estrae una carte:

  • se è una figura vinci 0,70 €
  • se non è una figura ma è una carta di bastoni o spade vinci 0,50 €
  • se è il settebello perdi 16 €.

Rispondi

  1. Qual è la speranza matematica del gioco?
  2. Dopo molte giocate chi ne trae vantaggio?
  3. Come devono cambiare le regole affinché il gioco divenga equo?

Partecipi ad un gioco che ha due varianti: in entrambe lanci due dadi, ma nella prima vinci se i due dadi mostrano la stessa faccia, mentre nella seconda se la somma delle due facce è pari a 7.

A quale delle due varianti del gioco preferisci partecipare?

  1. Alla prima
  2. Alla seconda
  3. Ritieni che siano equivalenti
  4. Gli esiti delle due varianti del gioco non sono confrontabili

 Supponiamo di lanciare un dado a 6 facce e di puntare sul 6.

  1. Se ripetiamo il lancio 6000 volte quante volte uscirà la faccia numero 6?
  2. Scommettendo 1€ per 600 giocate, con una vincita di 3€, quale sarà il bilancio finale?
  1. Qual è la speranza matematica del gioco?

Un gioco d’azzardo ha le seguenti regole:

  • Una persona punta 10 € su un solo numero da 1 a 6 e lancia tre dadi.
  • Se il numero puntato esce una volta la persona ritira la propria posta e vince 10 €, se esce due volte ritira la propria posta e vince 20 €, se esce tre volte ritira la propria posta e vince 30 € (ovviamente, se il numero puntato non esce perde la posta di 10 €).
  • Può ripetere le puntate quante volte vuole.

Stabilire se:

  1. Il gioco è equo
  2. Il gioco è favorevole a chi tiene il banco
  3. Il gioco è favorevole al giocatore
  4. Non possiamo stabilire nessuna delle precedenti risposte se non sappiamo il numero delle puntate effettuate


Ancora

  1. Roulette
  2. Lotto

Leopardi e capre

Due leopardi e due capre

  1. La barca può trasportare un uomo e due animali
  2. Se i leopardi rimangono con le capre e sono in maggioranza le mangiano


Tre leopardi e tre capre…


Spostando una coppia (Leopardo, capra) in ogni viaggio si mantiene l’equilibrio sulle due sponde del fiume.

Soldati e ragazzini

Un soldato incontra sulla riva del fiume due ragazzini con una piccola barca.
Tutti vogliono attraversare il fiume ma la barca può trasportare al massimo un soldato oppure due ragazzini.



Due soldati incontrano sulla riva del fiume due ragazzini con una piccola barca…



Tre soldati incontrano sulla riva del fiume due ragazzini con una piccola barca…



Se n è il numero di soldati

  • n = 0, attraversamenti = 1
  • n = 1, attraversamenti = 5
  • n = 2, attraversamenti = 9
  • n = 3, attraversamenti = 13

numero di attraversamenti = 4·n+1

Missionari e cannibali

Due missionari e due cannibali devono attraversare il fiume ma trovano una piccola barca che può trasportare al massimo due persone.
Il numero di cannibali su una delle due rive non può mai superare il numero di missionari…


Nella 2° soluzione remano solo i missionari


Tre missionari e tre cannibali devono attraversare il fiume ma trovano una piccola barca che può trasportare al massimo due persone.
Il numero di cannibali su una delle due rive non può mai superare il numero di missionari…


Come prima in alcuni passi si può scegliere se …


Altre versioni

  1. Padroni e servitori

Mariti e mogli

Due mariti devono attraversare il fiume con le rispettive mogli ma trovano una piccola barca che può trasportare al massimo due persone.
I mariti sono gelosissimi: una moglie è sempre accompagnata dal marito se è presente un altro uomo!


Nella 2° soluzione remano solo i mariti


Tre mariti …



Quattro mariti …


La barca deve avere almeno 3 posti e sono necessari (__) attraversamenti


Cinque mariti …


La barca deve avere almeno 3 posti e sono necessari 11 attraversamenti


Se le coppie sono più di 5 la barca deve avere almeno 4 posti con 2n-1 attraversamenti

Capra e cavoli

Homo quidam debebat ultra flavium transferre lupum, capram, et fasciculum cauli. Et non potuit aliam navem invenire, nisi quae duos tantum ex ipsis ferre valebat. Praeceptum itaque ei fuerat ut omnia haec ultra illaesa omnino transferret. Dicat, qui potest, quomodo eis illaesis transire potuit.


Wikipedia

Molto tempo fa un contadino andò al mercato e comprò un lupo, una capra e un cesto di cavoli. Ritornando a casa, arrivò sulla riva di un fiume e noleggiò una barca per attraversarlo, ma la barca poteva trasportare (oltre a lui) soltanto uno tra il lupo, la capra e i cavoli. Se lasciati da soli senza la sua presenza, il lupo avrebbe mangiato la capra, oppure la capra avrebbe mangiato i cavoli; il lupo, essendo carnivoro, non avrebbe mangiato i cavoli.
Il dilemma del contadino è quindi il seguente: come li avrebbe potuti trasportare per intero sull’altra riva del fiume, evitando di lasciare incustoditi il lupo con la capra o la capra con i cavoli?


oppure

Osserva

  1. La 1° e la 2° mossa sono obbligate
  2. Per la 3° mossa ci sono due alternative.

C’è una variante del gioco per ogni comunità al mondo…

  • volpe, oca e fagioli
  • lupo, pecora e cavoli
  • volpe, pollo e grano
  • volpe, oca e mais
  • pantera, maiale e zuppa
  • pantera, capra, batata

Leopardo, capra, topo, grano

Come capra e cavoli ma…

  1. Il leopardo mangia la capra e il topo
  2. La capra e il topo mangiano il grano
  3. Sulla barca c’è spazio per una sola gabbia

Sul grano c’è una certa libertà…

E.S. 2019 Simulazione 3 – 5

Emma fa questo gioco: lancia un dado con facce numerate da 1 a 6; se esce il numero 3 guadagna 3 punti, altrimenti perde 1 punto.
Il punteggio iniziale è 0.

  1. Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?
  2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?

1. Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?


  • Calcolo del punteggio al variare del numero di volte che esce 3
    • n=0, punteggio=-4
    • n=1, punteggio=0
    • n=2, punteggio=4
    • n=3, punteggio=8
    • n=4, punteggio=12
    • Il punteggio rimane 0 dopo 4 lanci se il 3 esce 1 volta
  • p(punteggio = 0) = p(n = 1) = …
    • p(dado = 3) = 1/6
    • p(dado = x) = 5/6, x <> 3
    • p(dado = 3xxx) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = x3xx) = \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = xx3x) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = xxx3) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
    • p(n = 1) = \frac{4\cdot 5^3}{6^4} = \frac{5^3}{2^2\cdot 3^4} = \frac{125}{324} ∼ 0.3858 = 38,58 %

2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?


Con controllo alla fine dei 6 lanci

  • Calcolo del punteggio al variare del numero di volte che esce 3
    • n=0, punteggio=-6
    • n=1, punteggio= -2
    • n=2, punteggio=2
    • n=3, punteggio=6
    • n=4, punteggio=10
    • n=5, punteggio=14
    • n=6, punteggio=18
    • Il punteggio non scende sotto lo 0 se il 3 esce almeno 2 volte
  • p(punteggio ≥ 0) = p(n ≥ 2) = 1 – p(n < 2) = 1 – p(n = 0) – p(n = 1) = …
    • p(n = 0) = p(dado = xxxxxx) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \frac{5^6}{6^6}
    • p(n = 1) =…
      • p(dado = 3xxxxx) = … = \frac{5^5}{6^6}
      • p(dado = x3xxxx) = …
      • p(dado = xx3xxx) = …
      • p(dado = xxx3xx) = …
      • p(dado = xxxx3x) = …
      • p(dado = xxxxx3) = …
    • p(punteggio ≥ 0) = 1- \frac{5^6}{6^6}-\frac{6\cdot 5^5}{6^6} = 1-\frac{11\cdot5^5}{6^6} = … ∼ 0,2632 = 26,32 %

Con controllo durante i 6 lanci

Sia * qualsiasi uscita da 1 a 6

Considera i casi con punteggio positivo o nullo (in verde)

  • p(dado = 33****) = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3×3***) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3xx3**) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3xxx3*) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}

p(punteggio ≥ 0) = \frac{1}{6^2}\frac{5}{6^3} + \frac{5^2}{6^4}\frac{5^3}{6^5} ~ 0,08629 ~ 8,63 %


Oppure, considera i casi con punteggio negativo (in rosso)

  • Se al primo lancio esce un numero diverso da 3 il punteggio è già negativo!
    • p(dado = x*****) = \frac{5}{6}
  • Se al primo lancio esce 3 e poi escono 4 numeri diversi da 3 il punteggio diventa negativo al 5° lancio
    • p(dado = 3xxxx*) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
  • In nessun altro caso il punteggio sarà negativo

p(punteggio ≥ 0) = 1 – \frac{5}{6}\frac{5^4}{6^5} ~ 0,08629 ~ 8,63 %




Calcola la probabilità di ogni punteggio dopo 4 lanci

numero
di 3
punti uscite quante
sono
probabilità probabilità
(distribuzione binomiale)
0 -4 xxxx 5^4 \frac{5^4}{6^4} {4 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^4
1 0 3xxx – x3xx – xx3x – xxx3 4\cdot 5^3 \frac{4\cdot 5^3}{6^4} {4 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^3
2 4 33xx – 3x3x – 3xx3 – x33x – x3x3 – xx33 6\cdot 5^2 \frac{6\cdot 5^2}{6^4} {4 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^2
3 8 333x – 33×3 – 3×33 – x333 4\cdot 5 \frac{4\cdot5}{6^4} {4 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^1
4 12 3333 1 \frac{1}{6^4} {4 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^0

Calcola la probabilità di ogni punteggio dopo 6 lanci

numero
di 3
punti uscite quante
sono
probabilità probabilità
(distribuzione binomiale)
0 -6 xxxxxx 5^6 \frac{5^6}{6^6} {6 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^6
1 -2 3xxxxx – x3xxxx – xx3xxx – xxx3xx – xxxx3x – xxxxx3 6\cdot 5^5 \frac{6\cdot 5^5}{6^6} {6 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^5
2 2 33xxxx – 3x3xxx – 3xx3xx – 3xxx3x – 3xxxx3 – x33xxx
x3x3xx – x3xx3x  – x3xxx3 – xx33xx – xx3x3x – xx3xx3
xxx33x – xxx3x3 – xxxx33
15\cdot 5^4 \frac{15\cdot 5^4}{6^6} {6 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^4
3 6 333xxx – 33x3xx – 33xx3x – 33xxx3 – 3x33xx – 3x3x3x
3x3xx3 – 3xx33x – 3xx3x3 – 3xxx33 – x333xx – x33x3x
x33xx3 – x3x33x – x3x3x3 – x3xx33 – xx333x – xx33x3
xx3x33 – xxx333
20\cdot 5^3 \frac{20\cdot 5^3}{6^6} {6 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^3
4 10 3333xx – 333x3x – 333xx3 – 33x33x – 33x3x3 – 33xx33
3x333x – 3x33x3 – 3x3x33 – 3xx333 – x3333x – x333x3
x33x33 – x3x333 – xx3333
15\cdot 5^2 \frac{15\cdot 5^2}{6^6} {6 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^2
5 14 33333x – 3333×3 – 333×33 – 33×333 – 3×3333 – x33333 6\cdot 5 \frac{6\cdot 5}{6^6} {6 \choose 5}\left(\frac{1}{6}\right)^5\left(\frac{5}{6}\right)^1
6 18 333333 1 \frac{1}{6^6} {6 \choose 6}\left(\frac{1}{6}\right)^6\left(\frac{5}{6}\right)^0

Calcola la probabilità delle uscite significative con 6 lanci

uscite quante
sono
probabilità
33**** 6^4 \frac{6^4}{6^6} \frac{1}{6^2}
3×3*** 5\cdot6^3 \frac{5\cdot 6^3}{6^6} \frac{5}{6^3}
3xx3** 5^2\cdot6^2 \frac{5^2\cdot 6^2}{6^6} \frac{5^2}{6^4}
3xxx3* 5^3\cdot6 \frac{5^3\cdot 6}{6^6} \frac{5^3}{6^5}
3xxxx* 5^4\cdot6 \frac{5^4\cdot 6}{6^6} \frac{5^4}{6^5}
x***** 5\cdot6^5 \frac{5\cdot6^5}{6^6} \frac{5}{6}


Codifica: Python

TESTO

Conversione arabo/romano

ARABO() testo Il testo rappresenta un numero romano.
Restituisce il valore numerico, tra 0 e 3999.
ROMANO() numero Converte un numero arabo in un numero romano.
Il numero da convertire deve essere compreso nell’intervallo di valori tra 0 e 3999.
numero
modo
Il modo (0..4) specifica il livello di semplificazione.

Da controllare…


CONCATENA testo1
testo2
Concatena le stringhe di testo
RIPETI testo
volte
Concatena tante volte lo stesso testo
SOSTITUISCI testo
vecchio
nuovo
numero
Sostituisce all’interno del testo tutte le comparse di vecchio con nuovo.
Eventualmente agisce solo sull’occorrenza di vecchio con il numero specificato.

IDENTICO testo1
testo2
Confronta due stringhe e restituisce VERO o FALSO
LUNGHEZZA testo Conta il numero di caratteri presenti
RICERCA testo
stringa
inizio
Restituisce la posizione del testo nella stringa, eventualmente a partire dal carattere in posizione inizio.
Non c’è differenza tra maiuscolo e minuscolo.
TROVA testo
stringa
inizio

Distingue tra maiuscolo e minuscolo.

DESTRA testo
num
Restituisce l’ultimo carattere a destra, oppure il num specificato di caratteri
SINISTRA testo
num
Restituisce il primo carattere a sinistra, oppure il num specificato di caratteri

ANNULLA.SPAZI testo Rimuove gli spazi dal testo, esclusi gli spazi singoli tra le parole
MAIUSC testo Il testo convertito in maiuscolo
MAIUSC.INIZ testo Le prime lettere delle parole del testo in maiuscolo, le altre in minuscolo
MINUSC testo Il testo convertito in minuscolo

ASC Modifica le lettere inglesi o il katakana a doppio byte all’interno di una stringa di caratteri in caratteri a singolo byte
BAHTTESTO Converte un numero in testo, utilizzando il formato valuta ß (baht)
CODICE.CARATT Restituisce il carattere specificato dal numero di codice
LIBERA Rimuove dal testo tutti i caratteri che non possono essere stampati
CODICE Restituisce un codice numerico per il primo carattere di una stringa di testo
VALUTA Converte un numero in testo, utilizzando il formato valuta € (euro)
TROVA, TROVA.B Rileva un valore di testo all’interno di un altro (distingue tra maiuscole e minuscole)
FISSO Formatta un numero come testo con un numero fisso di decimali
ORDINAMENTO.JIS Modifica le lettere inglesi o il katakana a singolo byte all’interno di una stringa di caratteri in caratteri a doppio byte.
SINISTRA, SINISTRAB Restituisce il carattere più a sinistra di un valore di testo
LUNGHEZZA, LUNGB Restituisce il numero di caratteri di una stringa di testo
MINUSC Converte il testo in lettere minuscole
STRINGA.ESTRAI, MEDIA.B Restituisce un numero specifico di caratteri di una stringa di testo a partire dalla posizione specificata
FURIGANA Estrae i caratteri fonetici (furigana) da una stringa di testo
MAIUSC.INIZ Converte in maiuscolo la prima lettera di ogni parola di un valore di testo
RIMPIAZZA, SOSTITUISCI.B Sostituisce i caratteri all’interno di un testo
RIPETI Ripete un testo per il numero di volte specificato
DESTRA, DESTRA.B Restituisce il carattere più a destra di un valore di testo
RICERCA, CERCA.B Rileva un valore di testo all’interno di un altro (non distingue tra maiuscole e minuscole)
SOSTITUISCI Sostituisce il nuovo testo al testo contenuto in una stringa
T Converte gli argomenti in testo
TESTO Formatta un numero e lo converte in testo
ANNULLA.SPAZI Elimina gli spazi dal testo
MAIUSC Converte il testo in maiuscolo
VALORE