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Numero del vampiro

Da Wikipedia

In matematica, un numero del vampiro è un numero naturale composto v, con un numero pari di cifre n, che può essere fattorizzato in due interi x e y (chiamati zanne) che non abbiano entrambi degli zeri finali e ognuno dei quali abbia n/2 cifre, dove v contiene precisamente tutte le cifre di x e y, in un ordine qualsiasi, contando la molteplicità.


1260


Il primo numero del vampiro è 1260, infatti

  • 01*26 = 26*01 = 26
  • 01*62 = 62*01 = 62
  • 02*16 = 16*02 = 32
  • 02*61 = 61*02 = 122
  • 06*12 = 12*06 = 72
  • 06*21 = 21*06 = 126
  • 10*26 = 26*10 = 2600
  • 10*62 = 62*10 = 6200
  • 12*60 = 60*12 = 720
  • 16*20 = 20*16 = 320
  • 20*61 = 61*20 = 1220
  • 21*60 = 60*21 = 1260

Con 4 cifre


I numeri del vampiro di 4 cifre sono 7

  1. 1260 = 21*60
  2. 1395 = 15*93
  3. 1435 = 35*41
  4. 1530 = 30*51
  5. 1827 = 21*87
  6. 2187 = 27*81
  7. 6880 = 80*86

Sequenza soluzione?

Per ogni sequenza di lunghezza qualsiasi esistono infinite sequenze che la prolungano ragionevolmente…


Data la sequenza

può essere ragionevolmente prolungata come

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 3, 2, 4, 3, 0, …

Tre sequenze indipendenti di coppie decrescenti con variazione -1,-2,-2


Oppure

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 4, 2, 3, …

Dalla 5° posizione in poi il valore dipende da quello di 4 posizioni precedenti, secondo la regola ripetuta -1, -3, +1


Oppure

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 4, 2, 3, …

Le somme di tre numeri consecutivi sono uguali a coppie e le somme sono decrescenti con la regola -2, -1, -2, -1, …


Oppure

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 7, 2, 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, …

Una sequenza 7, 6, 4, 5, 5, 2 che si ripete alternata con se stessa


Oppure

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 5, 1, 2, -1, 1, …

Una sequenza con variazioni -1, -2, +1, 0, -3 alternata con se stessa


Osserva: le soluzioni precedenti iniziano il prolungamento con la stessa cifra (5) ma poi…


Continua…

quindi: 6, 7, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 2, 3, 7, -2, 0, 11, -8, …

Tre sequenze indipendenti e le loro variazioni sono progressioni aritmetiche con ragione -1, +2, -2


La soluzione è data da quella sequenza che nel contesto culturale di chi la propone, e di chi deve individuarla, è la più immediata (?)

Conversioni di bit

Quando il numero di bit diventa grande si utilizzano i multipli byte, KB, MB, GB, TB, PB


100 bit = ???


  • 8 bit = 1 byte
  • Esegui una divisione intera tra 100 e 8: il quoziente è 12 il resto è 4
  • 100 bit = (12·8+4) bit = 12·8 bit + 4 bit = 12 byte e 4 bit

1.000 bit = ???


???


10.000 bit = ???


  • 8 bit = 1 byte
  • 1024 byte = 1 KB
  • 10.000 bit = 1250·8 bit = 1250 byte = (1·1024 + 226) byte = 1 KB e 226 byte

100.000 bit = ???


???


1.000.000 bit = ???


  • 1.000.000 bit = … = 122 KB e 72 byte

10.000.000 bit = ???


  • 10.000.000 bit = …



Con il foglio di calcolo

 

Formule?

  • (byte) = QUOZIENTE(Bit; 8)
  • (bit) = RESTO(Bit; 8)
  • ???



Qual è la dimensione effettiva di un file?

  1  B =                 1*8 bit =              8 bit
 10  B =                10*8 bit =             80 bit
100  B =               100*8 bit =            800 bit
  1 KB =            1*1024*8 bit =          8.192 bit
 10 KB =           10*1024*8 bit =         81.920 bit
100 KB =          100*1024*8 bit =        819.200 bit
  1 MB =       1*1024*1024*8 bit =      8.388.608 bit
 10 MB =      10*1024*1024*8 bit =     83.886.080 bit
100 MB =     100*1024*1024*8 bit =    838.860.800 bit
  1 GB =  1*1024*1024*1024*8 bit =  8.589.934.592 bit
 10 GB = 10*1024*1024*1024*8 bit = 85.899.345.920 bit


A seconda della situazione potremmo avere bisogno della dimensione in bit, byte, KB, …

  1. 10 KB = ??? byte
    • 10 KB = 10·1024 byte = 10.240 byte
  2. 10 KB = ??? bit
    • 10 KB = 10·1024 byte = 10·1024·8 bit = 81.920 bit
  3. 5 MB = ??? byte
    • 5 MB = 5·1024 KB = 5·1024·1024 byte = ??? byte
  4. 5 MB = ??? bit
    • 5 MB = 5·1024 KB = 5·1024·1024 byte = 5·1024·1024·8 bit = ??? bit
  5. 700 MB = ??? KB
  6. 700 MB = ??? byte
  7. 700 MB = ??? bit
    • 700 MB = = 700·1024·1024·8 bit = ??? bit
  8. 10.000 byte = ??? KB
    • 10.000 byte = (9·1024+784) byte = 9 KB e 784 byte

Dovendo svolgere delle moltiplicazioni o divisioni con grandi quantità risulta molto comoda la forma fattorizzata

  1. 100 bit = 102 bit = (2·5)2 bit = 22·52 bit
  2. 1000 bit = … = ??? bit
  3. 10.000 byte = 104(23 bit) = 24·54·23 bit = 27·54 bit
  4. 1.000.000 bit = … = 26·56 bit
  5. 10 KB = (2·5)(210)(23 bit) = 214·5 bit
  6. 1 MB = (210)(210)(23 bit) = ??? bit
  7. 5 MB = 5·(220)(23 bit) = 223·5 bit
  8. 100 MB = ??? bit
  9. 700 MB = (22·52·7)(220)(23 bit) = 225·52·7 bit
  10. 1 GB = ??? bit

Conversioni di secondi

Come rappresentare un certo numero di secondi in modo leggibile?

  • Quando i secondi sono almeno 60 si trasformano in minuti
  • Quando i minuti sono almeno 60 si trasformano in ore
  • Quando le ore sono almeno 24 si trasformano in giorni

100 secondi = ???


  • 100 secondi = un minuto e 40 secondi

1.000 secondi = ???


  • 1.000 secondi = (16·60+40) secondi = 16 minuti e 40 secondi

5.000 secondi = ???


???


10.000 secondi = ???


???

  • 10.000 secondi = (166·60+40) secondi = 166 minuti e 40 secondi
  • 166 minuti = (2·60+46) minuti = 2 ore e 46 minuti
  • 10.000 secondi = 2 ore, 46 minuti e 40 secondi

100.000 secondi = ???


???


Un milione di secondi?


  • 1.000.000 secondi = 16.666 minuti e 40 secondi
  • 16.666 minuti = 277 ore e 46 minuti
  • 277 ore = 11 giorni e 13 ore
  • Un milione di secondi = 11 giorni, 13 ore, 46 minuti e 40 secondi



Con il foglio di calcolo

Formule?

  • (secondi) = RESTO(Secondi; 60)
  • (minuti) = QUOZIENTE(Secondi; 60)
  • ???



Passa da una rappresentazione all’altra

  1. 100 minuti = ??? ore
  2. 1.000 minuti = ??? ore
  3. 12 ore = ??? secondi
  4. un giorno = ??? minuti
  5. una settimana = ??? ore

A quanti secondi corrisponde una certa attesa?

  • un minuto = 60 s
    • = 22·3·5 s
  • dieci minuti = 10*60 s = 600 s
    • = (2·5)(22·3·5) s = 23·3·52 s
  • un’ora = 60*60 s = 3.600 s
    • = (22·3·5)(22·3·5) s = 24·32·52 s
  • dieci ore = 10*60*60 s = 36.000 s
    • =
  •  un giorno = 24*60*60 s =
    • =
  • una settimana = 7*24*60*60 s =
    • =
  • un mese = 30*24*60*60 s =
    • =
  • un bimestre / un trimestre / un quadrimestre = ???
  • un anno = 365*24*60*60 s =
    • =
  • un lustro / un decennio / un secolo = ???

La forma fattorizzata risulta comoda nel caso di moltiplicazioni o divisioni…

INVALSI 5


Licei scientifici


ESEMPIO 1 – Domanda 4


Ogni esame universitario ha un peso dato dal numero di CFU (crediti formativi universitari).
La media pesata dei voti degli esami sostenuti si calcola nel modo seguente:

  • si moltiplica il voto di ciascun esame per il relativo numero di CFU
  • si sommano tutti i prodotti così ottenuti
  • si divide il risultato per il numero totale di CFU

Nella seguente tabella sono riportati i voti dei primi tre esami sostenuti da Giovanna.

+---------+------+-----+
|         | Voto | CFU |
+---------+------+-----+
| Esame 1 |   25 |  12 |
| Esame 2 |   20 |   6 |
| Esame 3 |   23 |   3 |
| Esame 4 |    ? |  12 |
+---------+------+-----+

Quale voto deve prendere Giovanna nel prossimo esame (esame 4) da 12 CFU per avere una media pesata uguale a 25?


ESEMPIO 1 – Domanda 7


I test clinici sono soggetti a errore; a volte non rilevano una malattia in persone malate e a volte la rilevano in persone sane.
Una malattia colpisce il 2% delle persone di una popolazione.
Un test clinico risulta positivo, cioè rileva la malattia, nel 90% delle persone malate e nell’1% delle persone sane.

La situazione è descritta dal diagramma ad albero seguente.

Un individuo della popolazione si è sottoposto al test che è risultato positivo.
Qual è la probabilità che l’individuo sia malato?


ESEMPIO 2 – Domanda 9


Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 volte testa in 6 lanci di una moneta non truccata?


ESEMPIO 3 – Domanda 2


La moneta da 1 euro e la moneta turca da 50 centesimi di lira hanno le stesse dimensioni, colori e misure.
Mario ha in tasca 3 monete da un euro e 2 monete turche da cinquanta centesimi di lira.

Estrae dalla tasca, senza guardare,  prima una moneta e poi un’altra.

Completa il diagramma ad albero che descrive la situazione calcolando le probabilità mancanti.


ESEMPIO 3 – Domanda 8


Aldo ha messo in un sacchetto tre foglietti di carta.
Sul primo ha scritto la lettera E, sul secondo la lettera R e sul terzo la lettera T.
Dopo aver mischiato i foglietti esegue tre estrazioni a caso senza rimettere i foglietti estratti nel sacchetto.
Qual è la probabilità che escano nell’ordine le lettere T, R, E in modo da formare la parola “TRE”?


Licei non scientifici e Istituti professionali


ESEMPIO 2 – Domande 3-4-5


In uno studio clinico è stato messo a punto e somministrato a un campione estratto da una popolazione un test per diagnosticare una malattia.
I risultati del test sul campione sono riportati in tabella.

+---------------+--------+------+--------+
|               | Malati | Sani | TOTALE |
+---------------+--------+------+--------+
| Test positivo |     95 |  105 |    200 |
| Test negativo |      5 |  795 |    800 |
+---------------+--------+------+--------+
|        TOTALE |    100 |  900 |   1000 |
+---------------+--------+------+--------+

  1. Qual è la percentuale di persone malate del campione?
  2. Qual è la probabilità che una persona malata sia risultata negativa al test?
  3. Si definisce falso positivo una persona sana che risulta positiva al test.
    Qual è la probabilità che una persona che ha partecipato al test sia un falso positivo?

INVALSI 2


2018-19 Esempio


Osserva il seguente diagramma ad albero.
Dei 1000 pazienti di un medico solo 500 sono stati vaccinati contro l’influenza.
Dopo alcuni mesi si è riscontrato che l’80% dei vaccinati non ha avuto l’influenza mentre il 40% dei non vaccinati non ha avuto l’influenza.

Utilizzando i dati del diagramma ad albero completa la seguente tabella.
+---------------+-----------------+-------------+--------+
|               | Non hanno avuto | Hanno avuto | TOTALE |
|               | l'influenza     | l'influenza |        |
+---------------+-----------------+-------------+--------+
| Vaccinati     |             400 |         ___ |   ____ |
| Non vaccinati |             ___ |         ___ |   ____ |
+---------------+-----------------+-------------+--------+
|        TOTALE |             ___ |         400 |   1000 |
+---------------+-----------------+-------------+--------+

  1. Qual è la probabilità che una persona scelta a caso dal campione di pazienti abbia avuto l’influenza?
  2. Qual è la probabilità che un paziente, preso a caso tra coloro che sono stati vaccinati, abbia avuto l’influenza?

2018-19 Esempio


Una fabbrica utilizza due diverse stampanti, S1 e S2 per produrre biglietti d’auguri.
La probabilità che un biglietto stampato da S1 sia difettoso è del 3%, mentre la probabilità che un biglietto stampato da S2 sia difettoso è del 2%.
La probabilità che un biglietto stampato da S2 sia senza difetti è …

Per la realizzazione di biglietti d’auguri S1 e S2 lavorano in serie, cioè ogni biglietto viene stampato prima da S1 e poi da S2.
Si sa che gli eventi “S1 produce un biglietto non difettoso” e “S2 produce un biglietto non difettoso” sono fra loro indipendenti.
La probabilità che un biglietto non sia difettoso dopo essere stato stampato sia da S1 che da S2 è …


2017-18 n. 31-32


Una fabbrica utilizza due diverse macchine M1 e M2 che lavorano indipendentemente l’una dall’altra.
Ciascuna delle due macchine produce chiavette USB da 16 GB e da 32 GB nelle percentuali descritte dalla seguente tabella.

+--------+-------+-------+--------+
|        | 16 GB | 32 GB | TOTALE |
+--------+-------+-------+--------+
| M1     |   18% |   42% |    60% |
+--------+-------+-------+--------+
| M2     |   22% |   18% |    40% |
+--------+-------+-------+--------+
| TOTALE |   40% |   60% |   100% |
+--------+-------+-------+--------+

  1. Qual è la probabilità di estrarre dalla produzione della fabbrica una chiavetta da 16 GB prodotta da M1 ?
  2. Qual è la probabilità che una chiavetta USB estratta dalla produzione della fabbrica sia da 16 GB?

2016-17 n. 17


In una gara motociclistica la moto M ha probabilità di vincere la gara:

  • 0,3 se il terreno è bagnato;
  • 0,6 se il terreno è asciutto.

La probabilità che il giorno della gara il terreno sia asciutto è 0,2.

Il diagramma può aiutare a determinare, per esempio, la probabilità che il terreno sia asciutto e che la moto M perda la gara.
Essa è 0,2∙0,4=0,08.
Qual è la probabilità che la moto M vinca la gara?


2016-17 n. 20


Due urne A e B contengono ciascuna tre bigliettini numerati con i numeri 1, 2 e 3.
Si estrae un bigliettino dall’urna A e poi un bigliettino dall’urna B.

  1. Completa l’elenco di tutti i possibili esiti che si possono ottenere: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), …
  2. Si estrae un bigliettino dall’urna A e poi uno dall’urna B e si esegue la somma dei due numeri estratti.
    Fra tutte le possibili somme che si possono ottenere, qual è la più probabile?

2015-16 n. 29


Nella scatola A vi sono 6 palline verdi e 4 rosse.
Nella scatola B vi sono invece 12 palline verdi e 5 rosse.
Quante palline verdi si devono spostare dalla scatola B alla scatola A affinché  la probabilità di estrarre una pallina verde da A diventi uguale alla probabilità di estrarre una pallina verde da B?


2014-15 n. 6


  1. Da un mazzo di 52 carte da gioco (composto da 13 carte per ognuno dei semi: cuori, quadri, fiori, picche) sono stati tolti i 4 assi.
    Si estrae una carta a caso.
    Qual è la probabilità che sia di cuori?
  2. Da un mazzo di 52 carte uguale al precedente sono state tolte alcune carte di fiori.
    Dopo questa operazione la probabilità di estrarre, a caso, una carta di fiori è 6/45.
    Quante carte di fiori sono state tolte?

2014-15 n. 18


Nel foglietto illustrativo contenuto nella confezione di un farmaco, alla voce “Effetti collaterali” si legge che:

  • il 2% dei pazienti trattati con il farmaco ha accusato vertigini;
  • il 7% dei pazienti trattati con il farmaco ha avuto bruciori di stomaco.

I due tipi di effetti collaterali sono indipendenti l’uno dall’altro.

  1. Qual è la probabilità che un paziente che ha assunto il farmaco non abbia bruciori di stomaco?
  2. Qual è la probabilità che un paziente che ha assunto il farmaco manifesti entrambi gli effetti collaterali?

2014-15 n. 23


Lo stesso test di matematica è stato proposto a due diversi gruppi di studenti.
Il primo gruppo, composto da 20 studenti, ha ottenuto un punteggio medio di 85 e il secondo, composto da 80 studenti, ha ottenuto un punteggio medio di 65.
Qual è il punteggio medio ottenuto dai 100 studenti dei due gruppi?


2012-13 n. 11


Una fabbrica utilizza due diversi macchinari, M1 e M2, per produrre tondini.
M1 ha un indice di qualità uguale a 0,96 (cioè la probabilità che un tondino che esce da M1 non sia difettoso è del 96%), mentre M2 ha indice di qualità uguale a 0,98.
La probabilità che un tondino esca da M2 difettoso è …

Per la realizzazione di tondini metallici, M1 e M2 lavorano in serie, cioè ogni tondino viene lavorato prima da M1 e poi da M2.
Supponiamo che gli eventi “M1 produce un tondino non difettoso” e “M2 produce un tondino non difettoso” siano fra loro indipendenti; allora la probabilità che un tondino non sia difettoso alla fine del ciclo di produzione (cioè dopo essere stato lavorato sia da M1 che da M1 e M2) è …

E.S. 2003


P2 PNI


… si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti …


1 PNI


Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?


2 PNI


Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.
Qual è la probabilità che essa sia difettosa?


4 PNI


Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.


5


La funzione 2x^3-3x^2+2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse.
Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.


6 PNI


Si vuole che l’equazione x^3+bx-7=0 abbia 3 radici reali.
Qual è un possibile valore di b?


7 PNI


Verificare l’uguaglianza \displaystyle \pi=4\int_{0}^1\, \frac{1}{1+x^2}\,dx e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di pi greco, applicando un metodo di integrazione numerica.


9


Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto.
Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.


10 PNI


Verificare che l’equazione x^3-3x+1=0 ammette tre radici reali.
Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

E.S. 1990…


1997


3 PNI Suppletiva

La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni di un campione di nuclidi se il campione è sufficientemente numeroso.
Un campione radioattivo contengo 2·1010 nuclidi ciascuno dei quali ha una probabilità p=10-10 di decadere in un secondo.
Calcolare

  1. il numero medio atteso di decadimenti al secondo;
  2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo;
  3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo.

1993


3 PNI

Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza.
I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente.
A e B hanno probabilità p (0<p<1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta.

  1. Si calcoli la probabilità che l’imputato sia assolto.
  1. Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D che ha una probabilità di decidere per l’assoluzione p’≠p (0<p'<1), si verifichi che la probabilità di assoluzione per l’imputato è maggiore che nel caso precedente se e solo se p’ > 1/2.

3 PNI Suppletiva

Una macchina produce pezzi meccanici.
Ogni pezzo prodotto ha una probabilità 0 < p < 1 di essere funzionante e probabilità q=1-p di essere difettoso.

  1. Presi a caso k pezzi prodotti si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
    • E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
    • E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
    • E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
  2. Per ogni k si determini p in modo tale che p(E1)=p(E2).
  3. Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
  4. Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

1992


Si desidera fondere due sequenze A e B di numeri interi, non ordinate e con eventuali valori ripetuti, in un’unica sequenza C nella quale compaiono, in ordine crescente e senza ripetizioni, i valori presenti in A e in B.
Il candidato formulate le ipotesi aggiuntive che ritiene necessarie, proponga ed illustri una procedura per risolvere il problema e la codifichi in un linguaggio di sua conoscenza.

Codifica:Linguaggio C


1990


Si scriva un programma che produca i numeri primi inferiori a 100.000.
Si calcoli quanti sono i numeri primi che cadono in ciascuno dei seguenti intervalli

  • 1 – 1.000
  • 1.001 – 2.000
  • 2.001 – 3.000
  • 99.001 – 100.000.

Codifica: C++Python

E.S. 2004


P1 PNI



P2 PNI



4


Dimostrate che l’equazione e^x+3x=0 ammette una e una sola soluzione reale.


4 PNI


Dati gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c} quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?


9 PNI


Si dimostri che l’equazione e^x+3x=0 ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.


10


Considerate gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

E.S. 2005


P2 – P2 PNI



6


Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?


7


Se f(x)=x^4-4x^3+4x^2+3, per quanti numeri reali k è f(k)=2?
Si illustri il ragionamento seguito.


7 PNI


Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?


9 PNI


Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando 2 dadi?
Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci?
E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?


10 PNI


Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più.
Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni?
Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.