Metodo di bisezione

Da Wikipedia

I metodi per calcolare in modo approssimato le radici di un’equazione (valori dell’incognita che soddisfano l’equazione) si articolano in due fasi:

  1. nella prima fase si separano le radici, ovvero si determinano gli intervalli della retta reale che contengono una sola radice dell’equazione;
  2. nella seconda fase si calcola un valore approssimato della radice dell’equazione applicando uno dei metodi disponibili.

Quando si sono separate le radici, ad esempio, si è trovato che la radice alpha è compresa nell’intervallo [a,b] abbiamo due valori approssimati, uno per difetto a ed uno per eccesso b della radice.

Si tratta di restringere l’intervallo in modo da ottenere valori più approssimati, secondo una approssimazione fissata.
I procedimenti sono iterativi.

In analisi matematica il teorema di Bolzano, detto anche teorema degli zeri per le funzioni continue, assicura l’esistenza di almeno una radice delle funzioni continue reali che assumano segni opposti ai due estremi di un intervallo.

Nel caso ci si trovi in presenza di una funzione strettamente monotona, il teorema dice che lo zero è unico; se non si fa tale ipotesi gli zeri possono essere più di uno.


Esempio


Data l’equazione \frac{1}{3}x^3\ -\ \frac{5}{3}x^2\ +\ 2x\ =\ 0 calcolare una delle radici con il metodo di bisezione.
L’equazione può essere studiata facilmente e le radici sono 0, 2, 3.


Separazione delle radici

  • x-0,5, f(x1) = 1.5…
  • x0,5, f(x2) = +0,625…
  • x2,5, f(x3) = 0,208…
  • x4 = 4,0, f(x4) = +2,667…

Polinomio di 3° grado, 3 intervalli…


Scelta di un intervallo

[2,5, 4,0]

Calcoli…

+---+-----------------------------+-------------------------------------+
|   |              x              |                 f(x)                |
|   +---------+---------+---------+------------+------------+-----------+
|   |    a    |    m    |    b    |    f(a)    |    f(m)    |   f(b)    |
+---+---------+---------+---------+------------+------------+-----------+
| 1 | 2,50000 | 3,25000 | 4,00000 | -0,2083333 |  0,3385417 | 2,6666667 |
| 2 | 2,50000 | 2,87500 | 3,25000 | -0,2083333 | -0,1048177 | 0,3385417 |
| 3 | 2,87500 | 3,06250 | 3,25000 | -0,1048177 |  0,0677897 | 0,3385417 |
| 4 | 2,87500 | 2,96875 | 3,06250 | -0,1048177 | -0,0299581 | 0,0677897 |
| 5 | 2,96875 | 3,01563 | 3,06250 | -0,0299581 |  0,0159518 | 0,0677897 |
| 6 | 2,96875 | 2,99219 | 3,01563 | -0,0299581 | -0,0077313 | 0,0159518 |
| 7 | 2,99219 | 3,00391 | 3,01563 | -0,0077313 |  0,0039266 | 0,0159518 |
+---+---------+---------+---------+------------+------------+-----------+

Dopo pochi passi y \rightarrow 0 per x \rightarrow 3



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Wikipedia: Teorema di Bolzano – Metodo della bisezione – Calcolo di uno zero di una funzione

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