Category Archives: Calcolo numerico

Confronto

I due metodi per la generazione di numeri pseudocasuali a confronto

Centro del quadrato
Metodo congruente lineare
Operazioni
  • poche, elementari
  • poche, elementari
Massimo periodo
  • quasi mai…
  • sicuro, se si rispettano le regole
Seme
  • da scegliere con attenzione
  • indifferente
Parametri
  • num. di cifre da scartare a dx. e sx.
  • da scegliere con attenzione (a, c, m)

Integrazione numerica – Riepilogo

Come ricordare le formule?


n=1

  • 1 rettangolo: h\ f(a)
  • 1 trapezio: \frac{h}{2}\ [f(a)+f(b)]

n=2

  • 2 rettangoli: h\ [f(a)+f(a+h)]
  • 2 trapezi: \frac{h}{2}\ [f(a)+2 f(a+h)+f(b)]
  • 1 parabola: \frac{h}{3}\ [f(a)+4 f(a+h)+f(b)]

n=3

  • 3 rettangoli: h\ [f(a)+f(a+h)+f(a+2h)]
  • 3 trapezi: \frac{h}{2}\ [f(a)+2 f(a+h)+2 f(a+2h)+f(b)]

n=4

  • 4 rettangoli: h\ [f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+f(a+3h)]
  • 4 trapezi: \frac{h}{2}\ [f(a)+2 f(a+h)+2 f(a+2h)+2 f(a+3h)+f(b)]
  • 2 parabole: \frac{h}{3}\ [f(a)+4 f(a+h)+2 f(a+2h)+4 f(a+3h)+f(b)]

n (dispari)

  • n rettangoli: h\ [f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+\ ...\ +f(a+(n-1)h)]
  • n trapezi: \frac{h}{2}\ [f(a)+2 f(a+h)+2 f(a+2h)+\ ...\ +2 f(a+(n-2)h)+2 f(a+(n-1)h)+f(b)]

n (pari)

  • n rettangoli: h\ [f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+\ ...\ +f(a+(n-1)h)]
  • n trapezi: \frac{h}{2}\ [f(a)+2 f(a+h)+2 f(a+2h)+\ ...\ +2 f(a+(n-2)h)+2 f(a+(n-1)h)+f(b)]
  • n/2 parabole: \frac{h}{3}\ [f(a)+4 f(a+h)+2 f(a+2h)+\ ...\ +2 f(a+(n-2)h)+4 f(a+(n-1)h)+f(b)]

Osserva la formulazione con le sommatorie

n rettangoli

  • \displaystyle h\cdot \sum_{i=0}^{n-1}f(a+i\cdot h)
  • \displaystyle h\cdot \sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)

n trapezi

  • \displaystyle \frac {h}{2}\cdot\left[f(a)+2\cdot \sum_{i=1}^{n-1}f(a+i\cdot h)+f(b)\right]
  • \displaystyle \frac {h}{2}\cdot\left[f(x_0)+2\cdot \sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]

n/2 parabole

  • \displaystyle \frac{h}{3} \left[f(a)+4\sum _{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)h)+2\sum _{i=1}^{n/2-1} f(a+2i\cdot h)+f(b)\right]
  • \displaystyle \frac{h}{3} \left[f(x_0)+4\sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2\sum _{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i})+f(x_{n})\right]

Pi greco – Approssimazioni

Frazioni

pi_html_mb659cd9 3
pi_html_m7037412 3,\overline{160493827}
pi_html_a4a7e25 3,125
pi_html_3b99718a 3,1\overline{5}
pi_html_m12349de 3,14
pi_html_m15c31bf5 3,\overline{142857} Archimede
pi_html_6be393f5 3,141\overline{6}
pi_html_425aa87f 3,14163…
pi_html_m2743b656 3,1416
pi_html_m2cb4b953 3,1415929… Zu Chongzhi
pi_formule_html_3cc2929e 3,141592653589793…

Radici

temp_html_m4ef0b6a9 3,162277660…
radici_html_m11462e6 3,141380652…
radici_html_m449f57e0 3,1415522358…
radici_html_m91741c9 3,141586417…
radici_html_m714eb4d5 3,1415924876…
radici_html_7f068c01 3,14159265…
pi_formule_html_3cc2929e 3,141592653…

Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite somme / prodotti / frazioni


Serie

  • \displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots (Leibniz)
    Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni
  • \displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots (Eulero)
    Reciproci dei quadrati
  • \displaystyle \frac{\pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots
    Reciproci delle quarte potenze
  • \pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots
    Il numero 2 ha segno positivo
    I
    numeri primi della forma (4m – 1) hanno segno positivo
    I numeri primi della forma (4m + 1) hanno segno negativo
    P
    er i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori
  • \displaystyle \pi= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n (Bailey, Borwein, Plouffe)
  • … (Ramanujan)

Produttorie

  • \displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n-1)}=\frac{2}{1}\frac{2}{3}\, \frac{4}{3}\frac{4}{5}\,\frac{\6}{5}\frac{6}{7}\,...=\frac{4}{3}\frac{16}{15}\frac{36}{35}\,... (Wallis)
  • \displaystyle \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\,\frac{5}{4}\,\frac{7}{8}\,\frac{11}{12}\,\frac{13}{12}\,\frac{17}{16}\,\frac{19}{20}\,\frac{23}{24}\,... (Eulero)
    Al numeratore vi sono tutti i numeri primi dispari
    Al denominatore il multiplo di quattro più vicino al numeratore
  • \displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2} \right)}\,\dots (Eulero)
    Il prodotto percorre tutti i numeri primi
  • \pi=2\,\frac{2}{\sqrt{2}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\,\dots (Viète)

Frazioni continue

Confronto

I due metodi per il calcolo della radice quadrata a confronto

Scolastico babilonese
I passi del metodo sono …
  1. difficili da eseguire
  2. difficili da implementare
  3. difficili da ricordare
  4. con numeri interi
  1. elementari
  2. elementari
  3. elementari
  4. con molte cifre decimali
Un passo produce…
  • una cifra esatta
  • una o più cifre esatte
Un errore di calcolo…
  • si propaga su tutte le cifre successive
  • viene assorbito nei passi successivi
Un quadrato perfetto
  • viene riconosciuto (resto=0)
  • non viene riconosciuto subito (ma quando errore < ε …)

Centro del quadrato

Autore: John von Neumann (1949)

Osserva la figura

Il quadrato di xn-1 produce un numero con il doppio delle cifre ma con le cifre più significative e le cifre meno significative facilmente prevedibili

Il prossimo numero casuale xn è costituito dalle cifre centrali!


Prova

Seme
Cifre (n)
Quanti?

Integrazione numerica – Parabole

Metodo di Cavalieri-Simpson

Con n pari ogni due intervalli si utilizza la parabola passante per 3 punti (di seguito trovi le formule finali)

Osserva lo sviluppo delle formule al crescere di n


n=2, h=\frac{b-a}{2}, una parabola


  1. \frac{h}{3}\ [f(a)+4f(a+h)+f(b)]
  2. (b-a)\ \frac{f(a)+4f(a+h)+f(b)}{6}

n=4, h=\frac{b-a}{4}, due parabole


  1. \frac{h}{3}\ [f(a)+4f(a+h)+f(a+2h)]+\frac{h}{3}\ [f(a+2h)+4f(a+3h)+f(b)]
  2. \frac{h}{3}\ [f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+f(b)]
  3. (b-a)\ \frac{f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+f(b)}{12}

n=6, h=\frac{b-a}{6}, tre parabole


  1. \frac{h}{3}\ [f(a)+4f(a+h)+f(a+2h)]+\frac{h}{3}\ [f(a+2h)+4f(a+3h)+f(a+4h)]+\frac{h}{3}\ [f(a+4h)+4f(a+5h)+f(b)]
  2. \frac{h}{3}\ [f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+2f(a+4h)+4f(a+5h)+f(b)]
  3. (b-a)\ \frac{f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+2f(a+4h)+4f(a+5h)+f(b)}{18}


h=\frac{b-a}{n}, n/2 parabole


  1. \frac{h}{3}\ [f(a)+4f(a+h)+f(a+2h)]+\ ...\ +\frac{h}{3}\ [f(a+(n-2)h)+4f(a+(n-1)h)+f(b)]
  2. \frac{h}{3}\ [f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+\ ... \ +2f(a+(n-2)h)+4f(a+(n-1)h)+f(b)]
  3. (b-a)\ \frac{f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+\ ...\ +2f(a+(n-2)h)+4f(a+(n-1)h)+f(b)}{3n}
    Un unico rettangolo con base (b-a) e altezza data dalla media pesata delle n+1 altezze.

Oppure la formulazione con le sommatorie

  • \displaystyle \frac{h}{3} \left[f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+4f(a+3h)+ ... +4f(a+(n-3)h)+2f(a+(n-2)h)+4f(a+(n-1)h)+f(b)\right]
    \displaystyle \frac{h}{3} \left[f(a)+4\sum _{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)h)+2\sum _{i=1}^{n/2-1} f(a+2i\cdot h)+f(b)\right]
  • \displaystyle \frac{h}{3} \left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+ ... +4f(x_{n-3})+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n})\right]
    \displaystyle \frac{h}{3} \left[f(x_0)+4\sum _{i=1}^{n/2}f(x_{2i-1})+2\sum _{i=1}^{n/2-1} f(x_{2i})+f(x_{n})\right]

 

Integrazione numerica – Trapezi

Osserva lo sviluppo delle formule al crescere di n


n=1, h=b-a


  1. [f(a)+f(b)]\ \frac{h}{2}
  2. \frac{h}{2}\ [f(a)+f(b)]
  3. (b-a)\ \frac{f(a)+f(b)}{2}
  4. \displaystyle h\left[\frac{f(a)}{2}+\frac{f(b)}{2}\right]

n=2, h=\frac{b-a}{2}


  1. [f(a)+f(a+h)]\ \frac{h}{2}+[f(a+h)+f(b)]\ \frac{h}{2}
  2. \frac{h}{2}\ [f(a)+2f(a+h)+f(b)]
  3. (b-a)\ \frac{f(a)+2f(a+h)+f(b)}{4}
  4. \displaystyle h\left[\frac{f(a)}{2}+f(a+h)+\frac{f(b)}{2}\right]

n=3, h=\frac{b-a}{3}


  1. [f(a)+f(a+h)]\ \frac{h}{2}+[f(a+h)+f(a+2h)]\ \frac{h}{2} +[f(a+2h)+f(b)]\ \frac{h}{2}
  2. \frac{h}{2}\ [f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+f(b)]
  3. (b-a)\ \frac{f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+f(b)}{6}
  4. \displaystyle h\left[\frac{f(a)}{2}+f(a+h)+f(a+2h)+\frac{f(b)}{2}\right]


h=\frac{b-a}{n}


  1. h\cdot \frac{f(a)+f(a+h)}{2}+\ ... \ +h\cdot \frac{f(a+(n-1)h)+f(b)}{2}
    Metodo dei rettangoli, ma con le altezze date dalla media tra quella di sinistra e quella di destra
  2. \frac{h}{2}\ [f(a)+2f(a+h)+\ ... \ +2f(a+(n-1)h)+f(b)]
  3. (b-a)\ \frac{f(a)+2f(a+h)+\ ...\ +2f(a+(n-1)h)+f(b)}{2n}
    Un unico rettangolo con base (b-a) e altezza data dalla media pesata delle n+1 altezze…
  4. \displaystyle h\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}+f(a+h)+... +f(a+(n-1)\cdot h)\right]
    Un unico rettangolo con base h e altezza data dalla somma delle n-1 altezze interne e della media della prima e dell’ultima altezza

Osserva la formulazione con le sommatorie

  • \displaystyle \frac {h}{2}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\left[f(a+i\cdot h)+f(a+(i+1)\cdot h)\right]
    \displaystyle \frac {h}{2}\cdot\left[f(a)+2\cdot \sum_{i=1}^{n-1}f(a+i\cdot h)+f(b)\right]
    \displaystyle h\cdot\left[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+i\cdot h)\right]
  • \displaystyle \frac {h}{2}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\left[f(x_i)+f(x_{i+1})\right]
    \displaystyle \frac {h}{2}\cdot\left[f(x_0)+2\cdot \sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(x_n)\right]
    \displaystyle h\cdot\left[\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)\right]

Integrazione numerica – Geogebra

Puoi sperimentare alcuni metodi di integrazione numerica

  1. con rettangoli
    • SommaSinistra(f, a , b, n)
      Somma degli n rettangoli con l’altezza di sinistra
    • SommaRettangoli(f, a, b, n, 0)
      Somma degli n rettangoli con l’altezza di destra
      Coincide con SommaSinistra(f, a , b, n)
    • SommaRettangoli(f, a, b, n, 0.5)
      Somma degli n rettangoli con l’altezza al centro
    • SommaRettangoli(f, a, b, n, 1)
      Somma degli n rettangoli con l’altezza di destra
  2. con trapezi
    • SommaTrapezi(f, a, b, n)
      Somma dei rettangoli con la media delle due altezze
  3. con Riemann
    • SommaInferiore(f, a, b, n)
      Somma dei rettangoli con l’altezza minima
    • SommaSuperiore(f, a, b, n)
      Somma dei rettangoli con l’altezza massima
  4. oppure calcolare il valore esatto
    • Integrale(f, a, b)
      Integrale definito da a a b di f(x) in dx
  5. oppure calcolare la funzione primitiva
    • Integrale(f)

Integrazione numerica – Rettangoli

L’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione a sinistra

a, a+h, a+2h, a+3h, …, a+(n-1)h=b-h


n=1, h=b-a

h\cdot f(a)

n=2, h=\frac{b-a}{2}

h\cdot f(a)+h\cdot f(a+h)

n=3, h=\frac{b-a}{3}

h\cdot f(a)+h\cdot f(a+h)+h\cdot f(a+2h)

h=\frac{b-a}{n}

h\cdot f(a)+h\cdot f(a+h)+\ ... \ +h\cdot f(a+(n-1)h)

Osserva come può essere riscritta (e interpretata) l’espressione

  1. h\ [f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+\ ...\ +f(a+(n-1)h)]
    Il calcolo dell’area di un unico rettangolo con base h e altezza data dalla somma delle n altezze
  2. (b-a)\ \frac{f(a)+f(a+h)+f(a+2h)+\ ...\ +f(a+(n-1)h)}{n}
    Il calcolo dell’area di un unico rettangolo con base (b-a) e altezza data dalla media aritmetica delle n altezze

Osserva le formulazioni alternative con le sommatorie

  • \displaystyle h\cdot \sum_{i=0}^{n-1}f(a+i\cdot h)
  • \displaystyle h\cdot \sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)
  • \displaystyle (b-a)\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)

Se l’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione nel punto centralea+h/2, a+h/2+h, a+h/2+2h, …, a+h/2+(n-1)h=b-h/2

  • h\cdot f\left(a+h/2)
  • h\cdot f(a+h/2)+h\cdot f(a+h/2+h)
  • h\cdot f(a+h/2)+h\cdot f\left(a+h/2+h)+h\cdot f(a+h/2+2h)
  • h\cdot f\left(a+h/2)+h\cdot f(a+h/2+h)+\ ...\ +h\cdot f(a+h/2+(n-1)h)

Se l’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione a destraa+h, a+2h, a+3h, …, a+nh=b

  • h\cdot f(b)
  • h\cdot f(a+h)+h\cdot f(b)
  • h\cdot f(a+h)+h\cdot f(a+2h)+h\cdot f(b)
  • h\cdot f(a+h)+h\cdot f(a+2h)+\ ...\ +h\cdot f(b)