Category Archives: CALCOLO

Numero del vampiro

Da Wikipedia

In matematica, un numero del vampiro è un numero naturale composto v, con un numero pari di cifre n, che può essere fattorizzato in due interi x e y (chiamati zanne) che non abbiano entrambi degli zeri finali e ognuno dei quali abbia n/2 cifre, dove v contiene precisamente tutte le cifre di x e y, in un ordine qualsiasi, contando la molteplicità.


1260


Il primo numero del vampiro è 1260, infatti

  • 01*26 = 26*01 = 26
  • 01*62 = 62*01 = 62
  • 02*16 = 16*02 = 32
  • 02*61 = 61*02 = 122
  • 06*12 = 12*06 = 72
  • 06*21 = 21*06 = 126
  • 10*26 = 26*10 = 2600
  • 10*62 = 62*10 = 6200
  • 12*60 = 60*12 = 720
  • 16*20 = 20*16 = 320
  • 20*61 = 61*20 = 1220
  • 21*60 = 60*21 = 1260

Con 4 cifre


I numeri del vampiro di 4 cifre sono 7

  1. 1260 = 21*60
  2. 1395 = 15*93
  3. 1435 = 35*41
  4. 1530 = 30*51
  5. 1827 = 21*87
  6. 2187 = 27*81
  7. 6880 = 80*86

Conversioni di bit

Quando il numero di bit diventa grande si utilizzano i multipli byte, KB, MB, GB, TB, PB


100 bit = ???


  • 8 bit = 1 byte
  • Esegui una divisione intera tra 100 e 8: il quoziente è 12 il resto è 4
  • 100 bit = (12·8+4) bit = 12·8 bit + 4 bit = 12 byte e 4 bit

1.000 bit = ???


???


10.000 bit = ???


  • 8 bit = 1 byte
  • 1024 byte = 1 KB
  • 10.000 bit = 1250·8 bit = 1250 byte = (1·1024 + 226) byte = 1 KB e 226 byte

100.000 bit = ???


???


1.000.000 bit = ???


  • 1.000.000 bit = … = 122 KB e 72 byte

10.000.000 bit = ???


  • 10.000.000 bit = …



Con il foglio di calcolo

 

Formule?

  • (byte) = QUOZIENTE(Bit; 8)
  • (bit) = RESTO(Bit; 8)
  • ???



Qual è la dimensione effettiva di un file?

  1  B =                 1*8 bit =              8 bit
 10  B =                10*8 bit =             80 bit
100  B =               100*8 bit =            800 bit
  1 KB =            1*1024*8 bit =          8.192 bit
 10 KB =           10*1024*8 bit =         81.920 bit
100 KB =          100*1024*8 bit =        819.200 bit
  1 MB =       1*1024*1024*8 bit =      8.388.608 bit
 10 MB =      10*1024*1024*8 bit =     83.886.080 bit
100 MB =     100*1024*1024*8 bit =    838.860.800 bit
  1 GB =  1*1024*1024*1024*8 bit =  8.589.934.592 bit
 10 GB = 10*1024*1024*1024*8 bit = 85.899.345.920 bit


A seconda della situazione potremmo avere bisogno della dimensione in bit, byte, KB, …

  1. 10 KB = ??? byte
    • 10 KB = 10·1024 byte = 10.240 byte
  2. 10 KB = ??? bit
    • 10 KB = 10·1024 byte = 10·1024·8 bit = 81.920 bit
  3. 5 MB = ??? byte
    • 5 MB = 5·1024 KB = 5·1024·1024 byte = ??? byte
  4. 5 MB = ??? bit
    • 5 MB = 5·1024 KB = 5·1024·1024 byte = 5·1024·1024·8 bit = ??? bit
  5. 700 MB = ??? KB
  6. 700 MB = ??? byte
  7. 700 MB = ??? bit
    • 700 MB = = 700·1024·1024·8 bit = ??? bit
  8. 10.000 byte = ??? KB
    • 10.000 byte = (9·1024+784) byte = 9 KB e 784 byte

Dovendo svolgere delle moltiplicazioni o divisioni con grandi quantità risulta molto comoda la forma fattorizzata

  1. 100 bit = 102 bit = (2·5)2 bit = 22·52 bit
  2. 1000 bit = … = ??? bit
  3. 10.000 byte = 104(23 bit) = 24·54·23 bit = 27·54 bit
  4. 1.000.000 bit = … = 26·56 bit
  5. 10 KB = (2·5)(210)(23 bit) = 214·5 bit
  6. 1 MB = (210)(210)(23 bit) = ??? bit
  7. 5 MB = 5·(220)(23 bit) = 223·5 bit
  8. 100 MB = ??? bit
  9. 700 MB = (22·52·7)(220)(23 bit) = 225·52·7 bit
  10. 1 GB = ??? bit

Problemino di Francesca

L’insegnante d’inglese ha già interrogato 7 studenti su 27. Ha avvertito che interrogherà 4 studenti scelti a caso.
Francesca non è stata ancora interrogata. Qual è la probabilità che venga interrogata oggi?


Soluzione 1: calcola la probabilità che Francesca venga estratta

  • p(“Francesca estratta per prima”) = \frac{1}{20}
  • p(“Francesca estratta come seconda”) = \frac{19}{20}\cdot \frac{1}{19} = \frac{1}{20}
  • p(“Francesca estratta come terza”) = \frac{19}{20}\cdot \frac{18}{19}\cdot \frac{1}{18} = \frac{1}{20}
  • p(“Francesca estratta come quarta”) = \frac{19}{20}\cdot \frac{18}{19}\cdot \frac{17}{18}\cdot \frac{1}{17} = \frac{1}{20}
  • p(“Francesca interrogata”) = 4\cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{5} = 0,20 = 20%

Soluzione 2: calcola la probabilità come rapporto tra il numero di gruppi ordinati di 3 studenti, da aggiungere a Francesca, e il numero di gruppi ordinati generici

  • I gruppi ordinati di 3 studenti da aggiungere a Francesca: {19 \choose 3}
  • Tutti i gruppi ordinati di 4 studenti: {20 \choose 4}
  • p(“Francesca interrogata”) = \frac{{19 \choose 3}}{{20 \choose 4}} = … = \frac{1}{5}

Soluzione 3: calcola la probabilità come rapporto tra il numero di gruppi di 4 studenti, compresa Francesca, e il numero di gruppi generici

  • 4 studenti, Francesca prima: (F)·19·18·17
  • 4 studenti, Francesca seconda: 19·(F)·18·17
  • 4 studenti, Francesca terza: 19·18·(F)·17
  • 4 studenti, Francesca quarta: 19·18·17·(F)
  • 4 studenti: 20·19·18·17
  • p(“Francesca interrogata”) = \frac{4\cdot(19\cdot18\cdot17)}{20\cdot19\cdot18\cdot17}\frac{1}{5}

Soluzione 4: la classe viene divisa casualmente in 5 gruppi di 4 studenti, calcola la probabilità che oggi venga estratto il gruppo cui appartiene Francesca

  • p(“Francesca interrogata”) = p(“gruppo di Francesca”) = \frac{1}{5}

Moneta di Buffon 1

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento ricoperto di assi parallele (parquet…).

La probabilità che la moneta tocchi il bordo di un’asse dipende dall’altezza di ogni striscia e dal raggio della moneta.
La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di una striscia interna

  1. Altezza della striscia sul pavimento, H
  2. Raggio della moneta, R, \ \ \ 0 \leq R \leq \frac{H}{2}
  3. Altezza della striscia interna,  h=H-2R

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie della striscia interna e tutta la superficie di una striscia, quindi dal rapporto tra le due altezze

P_I = \frac{h}{H}=\frac{H-2R}{H}=1-\frac{2R}{H}

La probabilità di toccare il bordo

 P=1-P_I=\frac{2R}{H}


Per semplificare

  1. Altezza della striscia, H=1
  2. Raggio della moneta, 0 \leq R \leq 1/2

La probabilità che la moneta tocchi il bordo della striscia è, al variare del raggio della moneta

R h PI P
1/8 6/8 6/8 2/8
0,25
2/8 4/8 4/8 4/8
0,50
3/8 2/8 2/8 6/8
0,75

Naturalmente

  • Se R \rightarrow 0 allora P \rightarrow 0
  • Se R \rightarrow 1/2 allora P \rightarrow 1

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

  • il centro della striscia ha y=0
  • l’ordinata del centro della moneta -1/2 \leq y\leq +1/2
  • la moneta tocca il bordo di una striscia se |y|\geq 1/2-R

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della striscia e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

R Numero lanci P
101 102 103 104 105
1/8 ? ? ? ? ? 0,25
2/8 ? ? ? ? ? 0,50
3/8 ? ? ? ? ? 0,75

Da base 10 a base 2,8,16


Da base 10 a base 2


(100)10 = (?)2

Con divisioni intere successive, la conversione è data dai resti delle divisioni (dall’ultimo al primo)

Puoi riassumere tutto in una tabella

La seconda colonna è superflua

Quindi

(100)10 = (1100100)2


(250)10 = (?)2

(250)10 = (11111010)2


Da base 10 a base 8


(100)10 = (?)8

(100)10 = (144)8


(250)10 = (?)8

(250)10 = (372)8


Da base 10 a base 16


(100)10 = (?)H

(100)10 = (64)H


(250)10 = (?)H

(250)10 = (FA)H


Con il foglio di calcolo

  • BASE(250, 2) -> 11111010
    • BASE(250, 2, 16) -> 0000000011111010
  • BASE(100, 8) -> 144
    • BASE(100, 8, 4) -> 0144
  • BASE(100, 16) -> 64
    • BASE(100, 16, 4) -> 0064
  • DECIMALE.BINARIO(250) -> 11111010
    • DECIMALE.BINARIO(250, 16) -> 0000000011111010
  • DECIMALE.HEX(100) -> 64
    • DECIMALE.HEX(100,4) -> 0064
  • DECIMALE.OCT(100) -> 144
    • DECIMALE.OCT(100, 4) -> 0144

Da base 2,8,16 a base 10


Da base 2 a base 10


Espandi in somma di potenze

(101)2 = (?)10

(101)2 = 1·220·211·20
= 1·4 + 0·2 + 1·1
= 4 + 0 + 1
= (5)10

(1101)2 = (?)10

(1101)2 = 1·231·220·211·20
= 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1
= 8 + 4 + 0 + 1
= (13)10


Da base 8 a base 10


Espandi in somma di potenze

(101)8 = (?)10

(101)8 = 1·820·811·80
= 1·64 + 0·8 + 1·1
= 64 + 0 + 1
= (65)10

(1506)8 = (?)10

(1506)8 = 1·83 + 5·820·81 + 6·80
= 1·512 + 5·64 + 0·8 + 6·1
= 512 + 320 + 0 + 6
= (838)10


Da base 16 a base 10


Espandi in somma di potenze

(101)H = (?)10

(101)H = 1·1620·1611·160
= 1·256 + 0·16 + 1·1
= 256 + 0 + 1
= (257)10

(5B6)H = (?)10

(5B6)H = 5·162 + B·161 + 6·160
= 5·256 + 11·16 + 6·1
= 1280 + 176 + 6
= (1462)10


Con il foglio di calcolo

  • BINARIO.DECIMALE(11111010) -> 250
  • DECIMALE(11111010, 2) -> 250
  • DECIMALE(144, 8) -> 100
  • DECIMALE(64, 16) -> 100
  • HEX.DECIMALE(64) -> 100
  • OCT.DECIMALE(144) -> 100

Contare in base 2, 8, 16


Base 2


Le cifre sono 2: 0 e 1
La base delle potenze è 2

Contare in base 2


Base 8


Le cifre sono 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

La base delle potenze è 8

Contare in base 8


Base 16


Le cifre sono 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

La base delle potenze è 16

Contare in base 16


Contare con la base una potenza di 2


Logica – Quesiti

Quesiti di provenienza diversa, in ordine alfabetico…


1


Determinare quale è la relazione che assume valore vero quando x è esterno all’intervallo [A, B] e y è interno allo stesso intervallo?

  1. (x<A) And (x>B) And (y>=A) And (y<B)
  2. ((x<A) Or (x>B)) And ((y>=A) And (y<=B))
  3. ((x<A) Or (x>B)) And ((y>=A) Or (y<=B))
  4. ((x<A) Or (x>B)) Or ((y>=A) Or (y<=B))
  5. ((x<A) And (x>B)) And ((y>=A) Or (y<=B))
  6. ((x<A) Or (x>B)) Or ((y>=A) And (y<B))


Le tavole di verità sono tabelle usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa.

Le tabelle di verità della congiunzione “e” (∧), della disgiunzione “o” (∨) e della negazione “non” (¬) sono rispettivamente:

Qual è la tabella di verità della proposizione P: ¬(A∧B)∨A?


3


Le tavole di verità sono tabelle usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa.
Le tavole di verità della disgiunzione (∨), della doppia implicazione (⇔) e della negazione (¬) sono rispettivamente:

Qual è la tavola di verità della proposizione P: (A ∨ (¬ B)) ⇔ B)?


4


Siano A e B due variabili booleane.
Quali delle seguenti espressioni è equivalente a: not (A or B) and (A or (A and B)) ?

  1. (not A and not B and A) or B
  2. not A or (not B and A) or (A and B)
  3. not A and not B and A and B
  4. Nessuna delle risposte precedenti

5


Siano A, B, C, D, E cinque variabili booleane, ossia variabili che possono assumere solo valori 1 (VERO) e 0 (FALSO).
Ricordando che gli operatori booleani sono:

  • ¬A
    (not A) VERO se A è FALSO, e FALSO se A è VERO
  • A ∧ B
    (A and B) VERO se sia A sia B sono VERO, e FALSO in tutti gli altri casi
  • A ∨ B
    (A or B) FALSO se sia A sia B sono FALSO, e VERO in tutti gli altri casi

e che in assenza di parentesi l’ordine di valutazione degli operatori è quello sopra riportato (prima not, poi and, poi or) si dica a cosa è equivalente la seguente espressione booleana

¬(¬(A ∧ (B ∨ A)) ∧ ¬(C ∨ (C ∧ D)))

  1. A ∨ ¬B ∧ C
  2. A
  3. A ∨ C
  4. C

6


Siano P, Q, R, S quattro variabili booleane, ossia variabili che possono assumere solo uno dei due valori 1 (VERO) e 0 (FALSO).
Ricordiamo che gli operatori booleani sono:

  1. not A, che si indica con ¬A, vale VERO se A è FALSO, e FALSO se A è VERO;
  2. A and B, che si indica con A B, vale VERO se sia A sia B sono VERO, e FALSO in tutti gli altri casi;
  3. A or B, che si indica con A B, vale FALSO se sia A sia B sono FALSO, e VERO in tutti gli altri casi.

In assenza di parentesi l’ordine di valutazione degli operatori è quello sopra riportato (prima il not, poi l’and, infine l’or).
Si consideri la seguente espressione logica:

(P∧Q)∧(R∧S)∨(¬P∧Q)

Quale delle seguenti espressioni logiche non è equivalente a quella riportata qui sopra?
Con equivalente si intende che assume gli stessi valori in funzione dei valori delle variabili booleane P, Q, R e S.

  1. (P∧Q)∧(R∧S)∨¬(P∨¬Q)
  2. ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)
  3. ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)∧(R∨¬R)
  4. (¬P∨¬Q)∧(R∧S)∨¬(P∨¬Q)

Giochi equi…

In ordine alfabetico


1


Di due diverse lotterie sono stati venduti, rispettivamente, 400 e 350 biglietti.
Avendo acquistato 15 biglietti della prima e 18 biglietti della seconda, in quale delle due lotterie si ha la maggior probabilità di vincere?


2


Nel seguente gioco due giocatori estraggono una carta dal mazzo:

  • Il primo giocatore vince 3 € se esce una carta di fiori e vince 5 € se esce una carte di picche
  • Il secondo giocatore vince 4 € se esce una carta rossa

Il gioco è equo?


3


Nella seguente situazione di gioco effettuato con un mazzo di 40 carte si estrae una carte:

  • se è una figura vinci 0,70 €
  • se non è una figura ma è una carta di bastoni o spade vinci 0,50 €
  • se è il settebello perdi 16 €.

Rispondi

  1. Qual è la speranza matematica del gioco?
  2. Dopo molte giocate chi ne trae vantaggio?
  3. Come devono cambiare le regole affinché il gioco divenga equo?

4


Partecipi ad un gioco che ha due varianti: in entrambe lanci due dadi, ma nella prima vinci se i due dadi mostrano la stessa faccia, mentre nella seconda se la somma delle due facce è pari a 7.

A quale delle due varianti del gioco preferisci partecipare?

  1. Alla prima
  2. Alla seconda
  3. Ritieni che siano equivalenti
  4. Gli esiti delle due varianti del gioco non sono confrontabili

5


Supponiamo di lanciare un dado a 6 facce e di puntare sul 6.

  1. Se ripetiamo il lancio 6000 volte quante volte uscirà la faccia numero 6?
  2. Scommettendo 1€ per 600 giocate, con una vincita di 3€, quale sarà il bilancio finale?
  1. Qual è la speranza matematica del gioco?

6


Un gioco d’azzardo ha le seguenti regole:

  • Una persona punta 10 € su un solo numero da 1 a 6 e lancia tre dadi.
  • Se il numero puntato esce una volta la persona ritira la propria posta e vince 10 €, se esce due volte ritira la propria posta e vince 20 €, se esce tre volte ritira la propria posta e vince 30 € (ovviamente, se il numero puntato non esce perde la posta di 10 €).
  • Può ripetere le puntate quante volte vuole.

Stabilire se:

  1. Il gioco è equo
  2. Il gioco è favorevole a chi tiene il banco
  3. Il gioco è favorevole al giocatore
  4. Non possiamo stabilire nessuna delle precedenti risposte se non sappiamo il numero delle puntate effettuate


Ancora

  1. Roulette
  2. Lotto

I connettivi logici – 3

I connettivi logici applicati a 3 clausole.
Dall’osservazione delle tabelle successive si può dedurre che gli operatori OR, AND, XOR, XNOR sono associativi.


OR


  p q r   p OR q   q OR r   (p OR q) OR r   p OR (q OR r)
+-------+--------+--------+---------------+---------------+
| 0 0 0 | 0      | 0      | 0             | 0             |
| 0 0 1 | 0      | 1      | 1             | 1             |
| 0 1 0 | 1      | 1      | 1             | 1             |
| 0 1 1 | 1      | 1      | 1             | 1             |
| 1 0 0 | 1      | 0      | 1             | 1             |
| 1 0 1 | 1      | 1      | 1             | 1             |
| 1 1 0 | 1      | 1      | 1             | 1             |
| 1 1 1 | 1      | 1      | 1             | 1             |
+-------+--------+--------+---------------+---------------+

  • OR: vero se almeno una clausola è vera
  • (p OR q) OR r = p OR (q OR r) = p OR q OR r

AND


  p q r   p AND q   q AND r   (p AND q) AND r   p AND (q AND r)
+-------+---------+---------+-----------------+-----------------+
| 0 0 0 | 0       | 0       | 0               | 0               |
| 0 0 1 | 0       | 0       | 0               | 0               |
| 0 1 0 | 0       | 0       | 0               | 0               |
| 0 1 1 | 0       | 1       | 0               | 0               |
| 1 0 0 | 0       | 0       | 0               | 0               |
| 1 0 1 | 0       | 0       | 0               | 0               |
| 1 1 0 | 1       | 0       | 0               | 0               |
| 1 1 1 | 1       | 1       | 1               | 1               |
+-------+---------+---------+-----------------+-----------------+

  • AND: vero se tutte le clausole sono vere
  • (p AND q) AND r = p AND (q AND r) = p AND q AND r

XOR


  p q r   p XOR q   q XOR r   (p XOR q) XOR r   p XOR (q XOR r)
+-------+---------+---------+-----------------+-----------------+
| 0 0 0 | 0       | 0       | 0               | 0               |
| 0 0 1 | 0       | 1       | 1               | 1               |
| 0 1 0 | 1       | 1       | 1               | 1               |
| 0 1 1 | 1       | 0       | 0               | 0               |
| 1 0 0 | 1       | 0       | 1               | 1               |
| 1 0 1 | 1       | 1       | 0               | 0               |
| 1 1 0 | 0       | 1       | 0               | 0               |
| 1 1 1 | 0       | 0       | 1               | 1               |
+-------+---------+---------+-----------------+-----------------+

  • XOR: vero se il numero di clausole vere è dispari
  • (p XOR q) XOR r = p XOR (q XOR r) = p XOR q XOR r



NOR


  p q r   p NOR q   q NOR r   (p NOR q) NOR r   p NOR (q NOR r)
+-------+---------+---------+-----------------+-----------------+
| 0 0 0 | 1       | 1       | 0               | 0               |
| 0 0 1 | 1       | 0       | 0               | 1               |
| 0 1 0 | 0       | 0       | 1               | 1               |
| 0 1 1 | 0       | 0       | 0               | 1               |
| 1 0 0 | 0       | 1       | 1               | 0               |
| 1 0 1 | 0       | 0       | 0               | 0               |
| 1 1 0 | 0       | 0       | 1               | 0               |
| 1 1 1 | 0       | 0       | 0               | 0               |
+-------+---------+---------+-----------------+-----------------+

Attenzione!

  • (p NOR q) NOR<> p NOR (q NOR r)

NAND


  p q r   p NAND q   q NAND r   (p NAND q) NAND r   p NAND (q NAND r)
+-------+----------+----------+-------------------+-------------------+
| 0 0 0 | 1        | 1        | 1                 | 1                 |
| 0 0 1 | 1        | 1        | 0                 | 1                 |
| 0 1 0 | 1        | 1        | 1                 | 1                 |
| 0 1 1 | 1        | 0        | 0                 | 1                 |
| 1 0 0 | 1        | 1        | 1                 | 0                 |
| 1 0 1 | 1        | 1        | 0                 | 0                 |
| 1 1 0 | 0        | 1        | 1                 | 0                 |
| 1 1 1 | 0        | 0        | 1                 | 1                 |
+-------+----------+----------+-------------------+-------------------+

Attenzione!

  • (p NAND q) NAND r <> p NAND (q NAND r)

XNOR


  p q r   p XNOR q   q XNOR r   (p XNOR q) XNOR r   p XNOR (q XNOR r)
+-------+----------+----------+-------------------+-------------------+
| 0 0 0 | 1        | 1        | 0                 | 0                 |
| 0 0 1 | 1        | 0        | 1                 | 1                 |
| 0 1 0 | 0        | 0        | 1                 | 1                 |
| 0 1 1 | 0        | 1        | 0                 | 0                 |
| 1 0 0 | 0        | 1        | 1                 | 1                 |
| 1 0 1 | 0        | 0        | 0                 | 0                 |
| 1 1 0 | 1        | 0        | 0                 | 0                 |
| 1 1 1 | 1        | 1        | 1                 | 1                 |
+-------+----------+----------+-------------------+-------------------+

  • XNOR: vero se il numero di clausole vere è dispari
  • (p XNOR q) XNOR r = p XNOR (q XNOR r) = p XNOR q XNOR r