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Moneta di Buffon 1

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento coperto da assi parallele (parquet…).

La probabilità che la moneta tocchi il bordo di un’asse dipende dall’altezza di ogni striscia e dal raggio della moneta.

La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di una striscia interna

  1. Altezza della striscia, H
  2. Raggio della moneta, R, \ \ \ 0 \leq R \leq H/2
  3. Altezza della striscia internaH_I = H-2R

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie della striscia interna e tutta la superficie di una striscia, quindi dal rapporto tra le due altezze

P_I = \frac{H_I}{H}=\frac{H-2R}{H}=1-\frac{2R}{H}

La probabilità di toccare il bordo

 P=1-P_I=\frac{2R}{H}


Per semplificare

  1. Altezza della striscia, H=1
  2. Raggio della moneta, 0 \leq R \leq 1/2

Teoricamente, la probabilità che la moneta tocchi il bordo della striscia è

R HI PI P
1/8 6/8 6/8 2/8
0,25
2/8 4/8 4/8 4/8
0,50
3/8 2/8 2/8 6/8
0,75

Naturalmente

  • Se R \rightarrow 0 allora P \rightarrow 0
  • Se R \rightarrow 1/2 allora P \rightarrow 1

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

  • il centro della striscia ha y=0
  • l’ordinata del centro della moneta -1/2 \leq y\leq +1/2
  • la moneta tocca il bordo di una striscia se |y|\geq 1/2-R

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della striscia e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

R Numero lanci P
101 102 103 104 105
1/8 ? ? ? ? ? 0,25
2/8 ? ? ? ? ? 0,50
3/8 ? ? ? ? ? 0,75

Da base 10 a base 2,8,16


Da base 10 a base 2


Con divisioni intere successive, la conversione è data dai resti delle divisioni (dall’ultimo al primo)

(100)10 = (?)2

(100)10 = (1100100)2

(250)10 = (?)2

(250)10 = (11111010)2

Per riassumere i calcoli in modo più compatto puoi adottare lo schema seguente

Il primo quoziente è il numero da convertire…


Da base 10 a base 8


Con divisioni intere successive, la conversione è data dai resti delle divisioni (dall’ultimo al primo)

(100)10 = (?)8

(100)10 = (144)8

(250)10 = (?)8

(250)10 = (372)8


Da base 10 a base 16


Con divisioni intere successive, la conversione è data dai resti delle divisioni dall’ultimo al primo

(100)10 = (?)H

(100)10 = (64)H

(250)10 = (?)H

(250)10 = (FA)H


Con il foglio di calcolo

  • BASE(250, 2) -> 11111010
    • BASE(250, 2, 16) -> 0000000011111010
  • BASE(100, 8) -> 144
    • BASE(100, 8, 4) -> 0144
  • BASE(100, 16) -> 64
    • BASE(100, 16, 4) -> 0064
  • DECIMALE.BINARIO(250) -> 11111010
    • DECIMALE.BINARIO(250, 16) -> 0000000011111010
  • DECIMALE.HEX(100) -> 64
    • DECIMALE.HEX(100,4) -> 0064
  • DECIMALE.OCT(100) -> 144
    • DECIMALE.OCT(100, 4) -> 0144

Da base 2,8,16 a base 10


Da base 2 a base 10


Espandi in somma di potenze

(101)2 = (?)10

(101)2 = 1·220·211·20
= 1·4 + 0·2 + 1·1
= 4 + 0 + 1
= (5)10

(1101)2 = (?)10

(1101)2 = 1·231·220·211·20
= 1·8 + 1·4 + 0·2 + 1·1
= 8 + 4 + 0 + 1
= (13)10


Da base 8 a base 10


Espandi in somma di potenze

(101)8 = (?)10

(101)8 = 1·820·811·80
= 1·64 + 0·8 + 1·1
= 64 + 0 + 1
= (65)10

(1506)8 = (?)10

(1506)8 = 1·83 + 5·820·81 + 6·80
= 1·512 + 5·64 + 0·8 + 6·1
= 512 + 320 + 0 + 6
= (838)10


Da base 16 a base 10


Espandi in somma di potenze

(101)H = (?)10

(101)H = 1·1620·1611·160
= 1·256 + 0·16 + 1·1
= 256 + 0 + 1
= (257)10

(5B6)H = (?)10

(5B6)H = 5·162 + B·161 + 6·160
= 5·256 + 11·16 + 6·1
= 1280 + 176 + 6
= (1462)10


Con il foglio di calcolo

  • BINARIO.DECIMALE(11111010) -> 250
  • DECIMALE(11111010, 2) -> 250
  • DECIMALE(144, 8) -> 100
  • DECIMALE(64, 16) -> 100
  • HEX.DECIMALE(64) -> 100
  • OCT.DECIMALE(144) -> 100

Contare in base 2, 8, 16


Base 2


Le cifre sono 2: 0 e 1
La base delle potenze è 2

Contare in base 2


Base 8


Le cifre sono 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

La base delle potenze è 8

Contare in base 8


Base 16


Le cifre sono 16: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

La base delle potenze è 16

Contare in base 16


Contare con la base una potenza di 2


Logica – Quesiti

Quesiti di provenienza diversa, in ordine alfabetico…


Determinare quale è la relazione che assume valore vero quando x è esterno all’intervallo [A, B] e y è interno allo stesso intervallo?

  1. (x<A) And (x>B) And (y>=A) And (y<B)
  2. ((x<A) Or (x>B)) And ((y>=A) And (y<=B))
  3. ((x<A) Or (x>B)) And ((y>=A) Or (y<=B))
  4. ((x<A) Or (x>B)) Or ((y>=A) Or (y<=B))
  5. ((x<A) And (x>B)) And ((y>=A) Or (y<=B))
  6. ((x<A) Or (x>B)) Or ((y>=A) And (y<B))

 Le tavole di verità sono tabelle usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa.

Le tabelle di verità della congiunzione “e” (∧), della disgiunzione “o” (∨) e della negazione “non” (¬) sono rispettivamente:

Qual è la tabella di verità della proposizione P: ¬(A∧B)∨A?


 Le tavole di verità sono tabelle usate nella logica per determinare se, attribuiti i valori di verità alle proposizioni che la compongono, una determinata proposizione è vera o falsa.
Le tavole di verità della disgiunzione (∨), della doppia implicazione (⇔) e della negazione (¬) sono rispettivamente:

Qual è la tavola di verità della proposizione P: (A ∨ (¬ B)) ⇔ B)?


Siano A e B due variabili booleane.
Quali delle seguenti espressioni è equivalente a: not (A or B) and (A or (A and B)) ?

  1. (not A and not B and A) or B
  2. not A or (not B and A) or (A and B)
  3. not A and not B and A and B
  4. Nessuna delle risposte precedenti

Siano A, B, C, D, E cinque variabili booleane, ossia variabili che possono assumere solo valori 1 (VERO) e 0 (FALSO).
Ricordando che gli operatori booleani sono:

  • ¬A
    (not A) VERO se A è FALSO, e FALSO se A è VERO
  • A ∧ B
    (A and B) VERO se sia A sia B sono VERO, e FALSO in tutti gli altri casi
  • A ∨ B
    (A or B) FALSO se sia A sia B sono FALSO, e VERO in tutti gli altri casi

e che in assenza di parentesi l’ordine di valutazione degli operatori è quello sopra riportato (prima not, poi and, poi or) si dica a cosa è equivalente la seguente espressione booleana

¬(¬(A ∧ (B ∨ A)) ∧ ¬(C ∨ (C ∧ D)))

  1. A ∨ ¬B ∧ C
  2. A
  3. A ∨ C
  4. C

 Siano P, Q, R, S quattro variabili booleane, ossia variabili che possono assumere solo uno dei due valori 1 (VERO) e 0 (FALSO).
Ricordiamo che gli operatori booleani sono:

  1. not A, che si indica con ¬A, vale VERO se A è FALSO, e FALSO se A è VERO;
  2. A and B, che si indica con A B, vale VERO se sia A sia B sono VERO, e FALSO in tutti gli altri casi;
  3. A or B, che si indica con A B, vale FALSO se sia A sia B sono FALSO, e VERO in tutti gli altri casi.

In assenza di parentesi l’ordine di valutazione degli operatori è quello sopra riportato (prima il not, poi l’and, infine l’or).
Si consideri la seguente espressione logica:

(P∧Q)∧(R∧S)∨(¬P∧Q)

Quale delle seguenti espressioni logiche non è equivalente a quella riportata qui sopra?
Con equivalente si intende che assume gli stessi valori in funzione dei valori delle variabili booleane P, Q, R e S.

  1. (P∧Q)∧(R∧S)∨¬(P∨¬Q)
  2. ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)
  3. ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)∧(R∨¬R)
  4. (¬P∨¬Q)∧(R∧S)∨¬(P∨¬Q)

Giochi equi…

In ordine alfabetico


Di due diverse lotterie sono stati venduti, rispettivamente, 400 e 350 biglietti.
Avendo acquistato 15 biglietti della prima e 18 biglietti della seconda, in quale delle due lotterie si ha la maggior probabilità di vincere?


 Nel seguente gioco due giocatori estraggono una carta dal mazzo:

  • Il primo giocatore vince 3 € se esce una carta di fiori e vince 5 € se esce una carte di picche
  • Il secondo giocatore vince 4 € se esce una carta rossa

Il gioco è equo?


 Nella seguente situazione di gioco effettuato con un mazzo di 40 carte si estrae una carte:

  • se è una figura vinci 0,70 €
  • se non è una figura ma è una carta di bastoni o spade vinci 0,50 €
  • se è il settebello perdi 16 €.

Rispondi

  1. Qual è la speranza matematica del gioco?
  2. Dopo molte giocate chi ne trae vantaggio?
  3. Come devono cambiare le regole affinché il gioco divenga equo?

Partecipi ad un gioco che ha due varianti: in entrambe lanci due dadi, ma nella prima vinci se i due dadi mostrano la stessa faccia, mentre nella seconda se la somma delle due facce è pari a 7.

A quale delle due varianti del gioco preferisci partecipare?

  1. Alla prima
  2. Alla seconda
  3. Ritieni che siano equivalenti
  4. Gli esiti delle due varianti del gioco non sono confrontabili

 Supponiamo di lanciare un dado a 6 facce e di puntare sul 6.

  1. Se ripetiamo il lancio 6000 volte quante volte uscirà la faccia numero 6?
  2. Scommettendo 1€ per 600 giocate, con una vincita di 3€, quale sarà il bilancio finale?
  1. Qual è la speranza matematica del gioco?

Un gioco d’azzardo ha le seguenti regole:

  • Una persona punta 10 € su un solo numero da 1 a 6 e lancia tre dadi.
  • Se il numero puntato esce una volta la persona ritira la propria posta e vince 10 €, se esce due volte ritira la propria posta e vince 20 €, se esce tre volte ritira la propria posta e vince 30 € (ovviamente, se il numero puntato non esce perde la posta di 10 €).
  • Può ripetere le puntate quante volte vuole.

Stabilire se:

  1. Il gioco è equo
  2. Il gioco è favorevole a chi tiene il banco
  3. Il gioco è favorevole al giocatore
  4. Non possiamo stabilire nessuna delle precedenti risposte se non sappiamo il numero delle puntate effettuate


Ancora

  1. Roulette
  2. Lotto

I connettivi logici – 3

I connettivi logici applicati a 3 clausole.
Dall’osservazione delle tabelle successive si può dedurre che gli operatori OR, AND, XOR sono associativi.


OR

(p OR q) OR r = p OR (q OR r) = (p OR q OR r)

È vera se almeno una clausola è vera


AND

(p AND q) AND r = p AND (q AND r) = (p AND q AND r)

È vera se tutte le clausole sono vere


XOR

(p XOR q) XOR r = p XOR (q XOR r) = (p XOR q XOR r)

È vera se il numero di clausole vere è dispari



NOR

(p NOR q) NOR<> p NOR (q NOR r)


NAND

(p NAND q) NAND r <> p NAND (q NAND r)


XNOR

(p XNOR q) XNOR r = p XNOR (q XNOR r) = (p XNOR q XNOR r)

È vera se il numero di clausole vere è dispari

I connettivi logici – 2

Abbreviazioni per i valori logici:

  • 0=Falso
  • 1=Vero

OR

Vero se almeno una è vera

AND

Vero se entrambe sono vere


XOR

p XOR q = (p AND NOT q) OR (NOT p AND q)
OR esclusivo, vero se solo una è vera


NOR

Nego il risultato di OR
p NOR q = NOT (p OR q)
Vero se entrambe false

NAND

Nego il risultato di AND
p NAND q = NOT (p AND q)
Vero se almeno una è falsa

XNOR

Nego il risultato di XOR
p XNOR q = NOT (p XOR q)
Vero se entrambe vere o entrambe false


IMPLICAZIONE

Se p è vera allora q è vera

COIMPLICAZIONE

p e q sono equivalenti



Tutte…

I connettivi logici

Le proposizioni sono affermazioni che possono essere o vere o false.
La logica proposizionale è costituita da:

  • simboli di proposizione: p, q, r, s, …, X, Y, …
  • connettivi logici: NOT, AND, OR (XOR, NOR, NAND, …)
  • parentesi: (, )
  • valore Falso (F, False, 0)
  • valore Vero (V, T, True, 1)

NOT, ¬, negazione

  • Vera se p è falsa
  • Falsa se p è vera


OR, ∨, disgiunzione

  • Vera se almeno una tra p e q è vera
  • Falsa se entrambe p e q sono false


AND, ∧, congiunzione

  • Vera se entrambe p e q sono vere
  • Falsa se almeno una tra p e q è falsa

Distribuzione normale

X, variabile casuale con distribuzione gaussiana, normale

  • Funzione densità di probabilità: f(x) = k\ e^{-h(x-\mu)^2}
  • Media = μ
  • Curva a campana, un unico picco, simmetrica
  • Moda = media
  • k influenza l’altezza della curva
  • h influenza lo sviluppo orizzontale della curva

Distribuzione gaussiana normalizzata

  • k = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
  • h = \frac{1}{2\sigma^2}
  • Funzione densità di probabilità: f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  • Funzione di distribuzione:  F(X) = \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^x \ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ dx
  • \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^{+\infty} \ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ dx \ = \ 1
  • Media = μ
  • Varianza = σ²
  • p(μ ≤ X ≤ μ) = 68,3%
  • p(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) = 95,5%
  • p(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) = 99,7%

X, variabile casuale con distribuzione normale standardizzata

  • μ=0
  • σ=1
  • Funzione di distribuzione:  F(X) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^z \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz

Data una distribuzione normale con valore medio μ e deviazione standard σ

  • Punteggio z di x, distanza di x dal centro della distribuzione misurata in numero di deviazioni standard
  • z = \frac{x-\mu}{\sigma}
  • x > μ ⇒ z > 0
  • x < μ ⇒ z < 0
  • p(a < X < b) = p(za < z < zb) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{z_a}^{z_b} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz