Category Archives: Geogebra

Integrazione numerica – Esercizio 1

Calcola \displaystyle \int_{1}^{5}(3x^2+2x+1)\ dx

Osserva

  • Integrale(f) = x^3+x^2+x
  • Integrale(f, a, b) = 152
  • SommaRettangoli(f, a, b, n, 0) = SommaInferiore(f, a, b, n)
  • SommaRettangoli(f, a, b, n, 1) = SommaInferiore(f, a, b, n)

Esercizio 59

Scrivi l’equazione della retta r della figura e considera su r un punto C variabile.

  1. Determina il baricentro G del triangolo ABC e scrivi l’equazione del luogo descritto a G.
    Calcola le coordinate di C quando G hscissa 3.
  2. Determina C nel primo quadrante in modo che \overline{AC}=\sqrt{17} e trova l’ortocentro H di ABC.
  3. Trova C in modo il triangolo ABC sia isoscele, con base AB, e determina l’incentro di ABC.

Dati del problema

  • A=(1,0)
  • B=(5,0)
  • Q=(1,2)

Costruzione

  • r: \frac{y-y_0}{y_Q-y_0}=\frac{x-x_0}{x_Q-x_0}, … r: y=2x
  • C=(x,2x)

Quesiti

  1. G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right), …, G=\left(\frac{1}{3}x+2,\frac{2}{3}x\right)
    luogo(G,C): …, y=2x-4
    x_G=3, …, C=(3,6)
  2. \overline{AC}=\sqrt{17}, …, C=(2,4), …, H=\left(2 , \frac{3}{4}\right)
  3. \overline{AC}=\overline{BC}, …, C=(3,6)


Codifica: Geogebra

Integrazione numerica – Geogebra

Puoi sperimentare alcuni metodi di integrazione numerica

  1. con rettangoli
    • SommaSinistra(f, a , b, n)
      Somma degli n rettangoli con l’altezza di sinistra
    • SommaRettangoli(f, a, b, n, 0)
      Somma degli n rettangoli con l’altezza di destra
      Coincide con SommaSinistra(f, a , b, n)
    • SommaRettangoli(f, a, b, n, 0.5)
      Somma degli n rettangoli con l’altezza al centro
    • SommaRettangoli(f, a, b, n, 1)
      Somma degli n rettangoli con l’altezza di destra
  2. con trapezi
    • SommaTrapezi(f, a, b, n)
      Somma dei rettangoli con la media delle due altezze
  3. con Riemann
    • SommaInferiore(f, a, b, n)
      Somma dei rettangoli con l’altezza minima
    • SommaSuperiore(f, a, b, n)
      Somma dei rettangoli con l’altezza massima
  4. oppure calcolare il valore esatto
    • Integrale(f, a, b)
      Integrale definito da a a b di f(x) in dx
  5. oppure calcolare la funzione primitiva
    • Integrale(f)

Algebra

L’elenco non è completo…

CompletaQuadrato Funzione quadratica Trasforma la funzione quadratica indicata in una nuova funzione, avente la forma a(x−h)2+k. CompletaQuadrato[x^2-4x+7] genera la funzione f(x)=(x-2)2+3.
DaBase
DenominatoreComune
Divisione
Divisori Numero Restituisce il numero di tutti i divisori positivi del numero indicato, incluso il numero stesso. Divisori[15] restituisce 4, il numero di tutti i divisori positivi di 15, incluso il numero 15 stesso.
FattoriPrimi Numero Restituisce la lista di numeri primi il cui prodotto è uguale al numero dato. FattoriPrimi[1024] restituisce {2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2}.
FattoriPrimi[42] restituisce {2, 3, 7}.
Fattorizza
InBase
ListaDivisori Numero ListaDivisori[Numero]Restituisce la lista di tutti i divisori positivi del numero, incluso il numero stesso. ListaDivisori[15] restituisce {1, 3, 5, 15}, la lista di tutti i divisori positivi di 15, incluso il numero 15 stesso.
Max
MCD Numero
Numero
Lista di numeri
Polinomio
Polinomio
Lista di polinomi
MCM Numero
Numero
Lista di numeri
Polinomio
Polinomio
Lista di polinomi
Min
PrimoMembro
PrimoPrec
PrimoSuc
Quoziente
Resto
SecondoMembro
Semplifica
SommaDivisori Nunero Calcola la somma di tutti i divisori positivi del numero, incluso il numero stesso. SommaDivisori[15] restituisce 24, la somma 1 + 3 + 5 + 15.
Sviluppa
TestPrimo Restituisce true se il numero è primo, false in caso contrario. TestPrimo[10] restituisce false
TestPrimo[11] restituisce true.

Curve

Curve implicite

Le curve implicite sono polinomi nelle variabili x e y.
Le loro espressioni possono essere digitate direttamente nella barra di inserimento.
Esempio

x^4 + y^3 = 2xy

Curve parametriche

Le curve parametriche della forma

a(t) = (f(t), g(t))

dove t è un parametro reale che varia in un determinato intervallo, possono essere create utilizzando il comando Curva[].

A questo tipo di curve è possibile applicare i comandi Tangenti, Punto, Intersezione.

Note

  • Le curve parametriche possono utilizzare le funzioni e gli operatori aritmetici predefiniti.
    Ad esempio, digitando c(3) si ottiene il punto della curva c corrispondente al valore 3 del parametro.
  • Utilizzando il mouse è inoltre possibile posizionare un punto su una curva, applicando lo strumento Tool New Point.gif Nuovo punto o il comando Punto[].
    Poichè gli estremi a e b sono dinamici, è possibile utilizzare anche gli slider Tool Slider.gif .

Non è possibile creare una curva parametrica passante per più punti assegnati.
In alternativa, provare ad applicare ad esempio il comando RegPol per ottenere una funzione passante per tali punti.

Strumenti

Comandi

Asintoto[] Curva
Genera una lista contenente tutti gli asintoti della curva implicita. Asintoto[x^3 + y^3 + y^2 - 3 x = 0] restituisce la lista {x + y = -0.33}.
Curva[] Espr e1
Espr e2
Parametro
Valore in
Valore fi
Traccia il grafico cartesiano della curva parametrica indicata, in cui x e y sono definite rispettivamente dalle espressioni e1 ed e2, dipendenti da un parametro, variabile nell’intervallo [Valore iniziale, Valore finale] indicato.
Il Valore finale assunto dal parametro deve essere maggiore o uguale del Valore iniziale, ed entrambi devono essere finiti.
Non è possibile utilizzare x e y come parametri.
Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi] traccia la circonferenza di raggio 2 con centro nell’origine del sistema di coordinate.
CurvaImplicita[] Lista di punti Genera una curva implicita passante per i punti dell’insieme dato.
Per una curva implicita di grado n la lunghezza della lista deve essere n(n+3)/2.
CurvaImplicita[] f(x,y) Genera la curva implicita f(x,y) = 0.
Al momento f(x,y) deve essere un polinomio in x e y.
Curvatura[] Punto
Curva
Calcola la curvatura della curva nel punto dato.
Derivata[] Curva Restituisce la derivata della curva indicata.
È applicabile esclusivamente a curve parametriche.
Derivata[Curva[cos(t), t sin(t), t, 0, π]] restituisce la curva x = -sin(t), y = sin(t) + t cos(t).
Derivata[] Curva
Numero n
Restituisce la derivata nesima della curva. Derivata[Curva[cos(t), t sin(t), t, 0, π], 2] restituisce la curva x = -cos(t), y = 2cos(t) – t sin(t).
Intersezione[] Retta
Curva
Determina i punti di intersezione tra una retta e una curva parametrica. Intersezione[y = x+3, Curva[t, 2t, t, 0, 10]] restituisce A(3,6)
Lunghezza[] Curva
Numero t1
Numero t2
Calcola la lunghezza del tratto di curva compreso tra i valori del parametro t1 e t2.
Lunghezza[] Curva c
Punto A
Punto B
Calcola la lunghezza del tratto di curva c compreso tra due suoi punti A e B.

Strumenti: foglio di calcolo

Gli strumenti del Foglio di calcolo sono disponibili esclusivamente quando è attiva la Vista Foglio di calcolo.

Muovi Analisi univariata Crea lista Somma
Registra sul foglio di calcolo Analisi di regressione bivariata Crea lista di punti Media
Analisi multivariata Crea matrice Conta
Calcolatore di Probabilità Crea tabella Massimo
Crea linea spezzata aperta Minimo

Muovi Muovi
Registra sul foglio di calcolo Registra sul foglio di calcolo
Analisi univariata Analisi univariata Nel foglio di calcolo selezionare un gruppo di celle o delle colonne contenenti dati numerici, quindi fare clic sullo strumento per aprire una finestra di dialogo che visualizza una vasta scelta di grafici e calcola i principali indicatori statistici relativi ai dati selezionati.
La finestra di dialogo dispone di quattro pannelli: uno di statistica, uno relativo ai dati e due pannelli contenenti i grafici.
Durante la prima apertura della finestra di dialogo sono visualizzati il pannello delle statistiche e un solo pannello grafico: per visualizzare l’altro pannello grafico e il pannello dati utilizzare il pulsante Opzioni.Opzioni: Trascinamento con il mouse.Note: Un clic con il tasto destro del mouse sul grafico ne consente l’esportazione negli Appunti o in vari tipi di formato immagine.
Analisi di regressione bivariata Analisi di regressione bivariata Nel foglio di calcolo selezionare due colonne contenenti dati appaiati, quindi fare clic sullo strumento per aprire una finestra di dialogo che visualizza una vasta scelta di grafici e calcola i principali indicatori statistici relativi ai dati selezionati.
Analisi multivariata Analisi multivariata Nel foglio di calcolo selezionare un gruppo di celle o delle colonne contenenti dati numerici, quindi fare clic sullo strumento per aprire una finestra di dialogo che visualizza una vasta scelta di grafici e calcola i principali indicatori statistici relativi ai dati selezionati.
Calcolatore di Probabilità Calcolatore di Probabilità Un clic del mouse su questo strumento apre una finestra di dialogo dedicata al calcolo statistico e ai grafici delle distribuzioni di probabilità.

  • Scegliere una tra le distribuzioni disponibili nel relativo menu di riepilogo a discesa, quindi impostare i parametri della distribuzione utilizzando le caselle di testo adiacenti al menu.
  • Per calcolare una probabilità, fare clic sul menu di riepilogo a discesa delle probabilità e selezionare il tipo di intervallo, quindi impostare gli estremi dell’intervallo nelle caselle di testo adiacenti.
È inoltre possibile determinare le probabilità muovendo i punti del grafico lungo l’asse delle ascisse.

Opzioni

Il Calcolatore di Probabilità dispone di una propria barra di stile che consente la modifica delle impostazioni e delle modalità di esportazione dei grafici.
Per aprire la barra di stile, fare clic sull’apposito pulsante presente sotto la barra del titolo, oppure fare doppio clic sulla barra al di sotto della barra del titolo.
La barra di stile consente la modifica del formato di arrotondamento decimale, la scelta dell’utilizzo della probabilità cumulativa e la scelta della modalità di esportazione dei grafici.

Trascinamento con il mouse

Quando il puntatore del mouse è posizionato nella parte alta della finestra, si trasforma in un puntatore a forma di mano.
A questo punto è possibile trascinare il grafico nella Vista Grafica 1 o 2 in modo da creare un nuovo grafico, oppure è possibile trascinare il grafico in una qualsiasi applicazione che consente l’inserimento di immagini.

Crea lista Crea lista Nella Vista Grafica, tracciare un rettangolo di selezione attorno agli oggetti da inserire nella lista, quindi fare clic sul pulsante dello strumento per creare la lista contenente gli oggetti selezionati.
Nella Vista Foglio di calcolo, selezionare un gruppo di celle, quindi fare clic sul pulsante dello strumento per aprire una finestra di dialogo che consente di assegnare un nome, modificare e creare una lista contenente le celle selezionate.
Note: Le liste create con questo strumento vengono visualizzate nella Vista Algebra.

Crea lista di punti Crea lista di punti Selezionare un gruppo di celle del foglio di calcolo, quindi fare clic sul pulsante dello strumento per aprire una finestra di dialogo che consente di assegnare un nome, modificare e creare una lista di punti a partire dalle celle selezionate.
Crea matrice Crea matrice Selezionare un gruppo di celle del Foglio di calcolo, quindi fare clic sul pulsante dello strumento per aprire una finestra di dialogo che consente di assegnare un nome, modificare e creare una matrice a partire dalle celle selezionate.
Crea tabella Crea tabella Selezionare un gruppo di celle del Foglio di calcolo, quindi fare clic sul pulsante dello strumento per aprire una finestra di dialogo che consente di assegnare un nome, modificare e creare una tabella.
La tabella viene creata come testo nella Vista Grafica.
Crea linea spezzata aperta Crea linea spezzata aperta Selezionare un gruppo di coppie di celle (in riga o in colonna) del Foglio di calcolo, quindi fare clic sul pulsante dello strumento per aprire una finestra di dialogo che consente di assegnare un nome, modificare o creare una linea spezzata aperta passante per i punti aventi per coordinate le coppie di celle prescelte.
Somma Somma Può essere utilizzato in due modi:

  • Selezionare una cella di destinazione, quindi selezionare lo strumento e successivamente un intervallo di celle.
    La somma dei valori delle celle selezionate verrà riportata nella prima cella selezionata.
  • Selezionare un intervallo di due o più celle, quindi selezionare lo strumento.
    Se l’intervallo di celle contiene più righe, la somma di ciascuna colonna verrà inserita al di sotto dell’ultima riga.
    Se l’intervallo di celle contiene solo una riga, la somma degli elementi della riga verrà inserita alla destra della selezione.
    Mantenendo premuto il tasto Maiusc mentre si fa clic con il mouse sull’icona dello strumento verrà calcolata la somma degli elementi di ciascuna riga dell’area selezionata.
Media Media … la media …
Conta Conta … il conteggio …
Massimo Massimo … il massimo …
Minimo Minimo … il minimo …

Strumenti: CAS

Gli strumenti CAS sono disponibili solo nella Vista CAS.

Calcola Numerico Mantieni inserimento Fattorizza Espandi Sostituisci Risolvi Risolvi numericamente Derivata Elimina oggetto
Integrale

Per impostazione predefinita vengono visualizzati separatamente nella barra degli strumenti della Vista CAS, tranne lo Strumento Integrale, che si trova nella stessa casella dello Strumento Derivata.

Calcola Calcola Dopo avere selezionato lo strumento, inserire l’espressione da calcolare e premere il tasto Invio.
Numerico Numerico Dopo avere selezionato lo strumento, inserire l’espressione da calcolare numericamente e premere il tasto Invio.
Note: Il numero di decimali dipende dalle impostazioni di arrotondamento globali precedentemente definite nel menu Opzioni.
Mantieni inserimento Mantieni inserimento Selezionare lo strumento, quindi inserire un’espressione che si desidera mantenere come non modificabile.
Fattorizza Fattorizza Inserire l’espressione da fattorizzare, premere il tasto Invio, quindi fare clic sull’espressione e selezionare lo strumento.
Espandi Espandi Dopo avere selezionato lo strumento, inserire l’espressione da espandere (sviluppo dei calcoli), quindi premere il tasto Invio.
Sostituisci Sostituisci Inserire l’espressione e selezionare lo strumento: verrà visualizzata una finestra di dialogo in cui è possibile indicare le espressioni da sostituire.
Risolvi Risolvi Inserire l’equazione da risolvere e premere il tasto Invio, quindi fare clic con il mouse sull’equazione e selezionare lo strumento.
Per risolvere un sistema di equazioni, digitare le relative equazioni separatamente in più celle, quindi selezionare tali celle e lo strumento.
Risolvi numericamente Risolvi numericamente Digitare l’equazione da risolvere e premere il tasto Invio, quindi fare clic con il mouse sull’equazione e selezionare lo strumento.
Per risolvere un sistema di equazioni, scrivere ciascuna equazione in una cella distinta, quindi selezionare le celle relative al sistema e selezionare lo strumento.
Derivata Derivata Inserire l’espressione da derivare, premere il tasto Invio, quindi fare clic sull’espressione e selezionare lo strumento.
Integrale Integrale Inserire l’espressione da integrare e premere il tasto Invio, quindi fare clic con il mouse sull’espressione e selezionare lo strumento.
Elimina oggetto Elimina oggetto

Parabola

Strumenti

Parabola Parabola Selezionare un punto (fuoco) e la direttrice della parabola.
Polare o diametro Polare o diametro Questo strumento genera la retta polare o la retta del diametro di una parabola.

È possibile sia

  • selezionare un punto e una parabola per ottenere la retta polare
  • selezionare una retta o un vettore e una parabola per ottenere la retta del diametro della conica.
Punto medio o centro Punto medio o centro Facendo clic su una parabola si ottiene il relativo centro.
Tangenti Tangenti Le tangenti a una parabola possono essere generate in due modi:

  • Selezionando un punto A ed una parabola vengono generate tutte le tangenti passanti per A.
  • Selezionando una retta g e una parabola vengono generate tutte le tangenti che sono parallele alla retta g.

Comandi

AsseMaggiore[] Parabola Determina l’equazione dell’asse maggiore della parabola.
AsseMinore[] Parabola Determina l’equazione dell’asse minore della parabola.
Assi[] Parabola Determina le equazioni dell’asse maggiore e dell’asse minore della parabola.
Centro[] Parabola Calcola il centro della parabola.
Direttrice[] Parabola Determina la direttrice della parabola.
Eccentricità[] Parabola Determina l’eccentricità della parabola.
Fuoco[] Parabola Determina tutti i fuochi della parabola.
LunghezzaSemiAsseMag[] Parabola Calcola la lunghezza del semiasse maggiore della parabola.
LunghezzaSemiAsseMin[] Parabola Calcola la lunghezza del semiasse minore della parabola.
Parabola[] Fuoco F
Retta g
Genera la parabola di fuoco F e direttrice g.
Parametro[] Parabola Calcola il parametro della parabola, ossia la distanza tra direttrice e fuoco.
PuntoMedio[] Parabola Genera il centro della parabola indicata.
SemidistanzaFocale[] Parabola Calcola la semidistanza focale della parabola, cioè la distanza tra il centro e uno dei fuochi.
Tangenti[] Punto
Parabola
Determina tutte le tangenti alla parabola passanti per il punto indicato.
Tangenti[] Retta
Parabola
Determina tutte le tangenti alla partabola parallele alla retta indicata.
Vertice[] Parabola Determina il vertice della parabola.

Iperbole

Strumenti

Iperbole Iperbole Selezionare i due fuochi dell’iperbole, quindi selezionare un terzo punto appartenente all’iperbole.
Polare o diametro Polare o diametro Questo strumento genera la retta polare o la retta del diametro dell’iperbole.

È possibile sia

  • selezionare un punto e l’iperbole per ottenere la retta polare
  • selezionare una retta o un vettore e l’iperbole per ottenere la retta del diametro dell’iperbole.
Punto medio o centro Punto medio o centro Facendo clic sull’iperbole si ottiene il relativo centro.
Tangenti Tangenti Le tangenti a un’iperbole possono essere generate in due modi:

  • Selezionando un punto A ed un’iperbole vengono generate tutte le tangenti passanti per A.
  • Selezionando una retta g e un’iperbole vengono generate tutte le tangenti che sono parallele alla retta g.

Comandi

Asintoto[] Iperbole Determina entrambi gli asintoti dell’iperbole.
AsseMaggiore[] Iperbole Determina l’equazione dell’asse maggiore dell’iperbole.
AsseMinore[] Iperbole Determina l’equazione dell’asse minore dell’iperbole.
Assi[] Iperbole Determina le equazioni dell’asse maggiore e dell’asse minore dell’iperbole.
Centro[] Iperbole Calcola il centro dell’iperbole.
Eccentricità[] Iperbole Determina l’eccentricità dell’iperbole.
Fuoco[] Iperbole Determina tutti i fuochi dell’iperbole.
Iperbole[] Fuoco F
Fuoco G
Lunghezza a
Genera l’iperbole di fuochi F e G e lunghezza del semiasse maggiore a.
Iperbole[] Fuoco F
Fuoco G
Segmento s
Genera l’iperbole di fuochi F e G e semiasse maggiore di lunghezza uguale alla misura del segmento s.
Iperbole[] Fuoco F
Fuoco G
Punto A
Genera l’iperbole di fuochi F e G e passante per il punto A.
LunghezzaSemiAsseMag[] Iperbole Calcola la lunghezza del semiasse maggiore dell’iperbole.
LunghezzaSemiAsseMin[] Iperbole Calcola la lunghezza del semiasse minore dell’iperbole.
PuntoMedio[] Iperbole Genera il centro dell’iperbole.
SemidistanzaFocale[] Iperbole Calcola la semidistanza focale dell’iperbole, cioè la distanza tra il centro e uno dei fuochi.
Tangenti[] Punto
Iperbole
Determina tutte le tangenti all’iperbole passanti per il punto indicato.
Tangenti[] Retta
Iperbole
Determina tutte le tangenti all’iperbole parallele alla retta indicata.
Vertice[] Iperbole Determina tutti i vertici dell’iperbole.

Numeri e angoli

Numeri

Per creare un numero, utilizzare la barra di inserimento. Digitando un numero (ad es. 3), GeoGebra assegna a tale numero un nome, costituito da una lettera minuscola dell’alfabeto. Per assegnare un nome specifico al numero, digitare il nome seguito da un simbolo di uguale (=) e dal numero (ad es. per creare un numero decimale r digitare r = 5.32).

Note: In GeoGebra, il separatore decimale è il punto (.)

Per utilizzare la costante π e il numero di Nepero e nelle espressioni e nei calcoli, selezionare tali costanti dall’elenco a discesa presente alla destra della barra di inserimento oppure utilizzare i Tasti di scelta rapida.

Note: Se la variabile e non è già stata utilizzata come nome di un oggetto esistente, verrà automaticamente riconosciuta all’interno delle espressioni inserite come numero di Nepero.

Angoli

Gli angoli possono essere inseriti in gradi (°) o radianti (rad). La costante π è molto utilizzata nella notazione in radianti, e può essere inserita anche digitando pi.

Note: I tasti di scelta rapida per ottenere i simboli di grado (°) o pi greco (π) sono i seguenti:

  • ALT + O (Mac OS: CTRL + O) per il simbolo di grado °
  • ALT + P (Mac OS: CTRL + P) per il simbolo π
Esempio: Un angolo α può essere inserito in gradi (ad es. α = 60°) o in radianti (ad es. α = pi/3).
Note: GeoGebra utilizza i radianti per il calcolo interno. Il simbolo di grado (°) non è altro che la costante π/180 utilizzata nella conversione gradi-radianti.

Esempio:

  • Se a = 30 è un numero, allora α = a° converte tale numero in un angolo α = 30°, senza modificarne il valore.
  • Digitando b = α / °, l’angolo α viene riconvertito nel numero b = 30, senza modificarne il valore.
Note: Per gli angoli dipendenti è possibile specificare se consentire anche angoli concavi, selezionando la relativa opzione nella scheda Fondamentali della finestra di dialogo Proprietà.

Numeri e angoli liberi

I numeri e gli angoli liberi possono essere visualizzati con slider nella Vista Grafica (vedere lo Tool Slider.gif strumento Slider). Per modificare il valore di tali numeri o angoli slider nellaVista Algebra è possibile anche utilizzare i tasti freccia (vedere la sezione Animazione manuale).

Limitare un valore in un intervallo

Per limitare i valori assunti da numeri e angoli su un intervallo [min, max] utilizzare la scheda Slider della finestra di dialogo Proprietà (vedere anche lo Tool Slider.gif strumento Slider).