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Qualificatore di triangoli

ITI – Esame di Stato – Seconda prova di Informatica – 1987

Il candidato deve ideare, orientandosi verso un linguaggio di programmazione a sua scelta, uno o più programmi che permettano di gestire la situazione descritta di seguito.

Si vuole un “qualificatore” di triangoli che qualifichi secondo la geometria elementare triangoli per conto, e con la collaborazione attiva, di un utente che non conosce la terminologia relativa a queste figure (ad esempio un bambino), ma è tuttavia in grado di confrontare segmenti e di riconoscere angoli retti, acuti e ottusi.

Il programma dovrà rivolgere domande che, nell’ambito di competenza dell’utente richiedano risposte di tipo SI/NO, VERO/FALSO o simili. La forma e il numero di tali domande sono lasciati al candidato.

Quando riterrà di avere avuto informazioni sufficienti il programma produrrà la qualifica richiesta nella forma di un messaggio che dice “il tuo triangolo è” seguito da una delle qualifiche: “equilatero”, “isoscele rettangolo”, “isoscele ottusangolo”, “isoscele acutangolo”, “scaleno rettangolo”, “scaleno ottusangolo”, “scaleno acutangolo”.

La classificazione dei triangoli può essere schematizzata con l’albero qui a lato sotto:

Produrre:

  • analisi e documentazione del progetto ideato comprese le eventuali ipotesi aggiuntive poste dal candidato;
  • le dichiarazioni di tutti i tipi, le variabili e le costanti necessarie alla scrittura dei programmi che realizzeranno il progetto documentato;
  • la codifica degli algoritmi e/o dei segmenti di programma che si ritengono maggiormente utili ad illustrare le idee guida del progetto.

triangoli2


Considera per ogni domanda l’espressione logica corrispondnete

  1. equilatero?
    • (a=b)\wedge(b=c)
  2. isoscele?
    • (a=b)\vee(a=c)\vee(b=c)
    • quali lati sono uguali?
  3. scaleno?
    • (a\ \neq \ b)\wedge (a\ \neq \ c)\wedge(b\ \neq \ c)
  4. rettangolo?
    • (a^2=b^2+c^2)\vee(b^2=a^2+c^2)\vee(c^2=a^2+b^2)
    • quali lati sono i cateti?
    • in quale vertice c’è l’angolo retto?
  5. ottusangolo?
    • (a^2\ > \ b^2+c^2)\vee(b^2\ > \ a^2+c^2)\vee(c^2\ > \ a^2+b^2)
    • quale angolo è ottuso?
  6. acutangolo?
    • (a^2\ < \ b^2+c^2)\vee(b^2\ < \ a^2+c^2)\vee(c^2\ < \ a^2+b^2)
  7. è un vero triangolo?
    • (a+b\ >\ c)\wedge(a+c\ > \ b)\wedge(b+c \ > \ a)

Le espressioni logiche non sono indipendenti tra loro quindi non sarà necessario valutarle tutte.


Consulta Wikipedia: Triangolo, Triangolo rettangolo, teorema dei seni, teorema del coseno, …

Formule

Per ognuno dei seguenti problemi di geometria scrivi le formule matematiche e le corrispondenti istruzioni informatiche

  • Foglio di calcolo: sostituisci i nomi dei dati con i riferimenti alle celle…
  • Linguaggio di programmazione?
Figura piana
Dati Elaborazione Foglio di calcolo
Triangolo
rettangolo
c1 (cateto 1)
c2 (cateto 2)


i (ipotenusa) = ?

  1. i=\sqrt{{c_1}^2+{c_2}^2}
  2. P=c_1+c_2+i
  3. A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}
  • i = RADQ(c1^2+c2^2)
  • P = c1+c2+i
  • A = c1*c2/2
c1 (cateto 1)
i (ipotenusa)


c2 (cateto 2) = ?

  1. c_2=\sqrt{{i}^2-{c_1}^2}
  2. P=c_1+c_2+i
  3. A=\frac{c_1\cdot c_2}{2}
  • c2 = RADQ(i^2-c1^2)
  • P = c1+c2+i
  • A = c1*c2/2
Triangolo
isoscele
b (base)
l (lato obliquo)


h (altezza) = ?

b (base)
h (altezza)


l (lato obliquo) = ?

Triangolo
equilatero
l (lato)


h (altezza) = ?

Triangolo
scaleno
l1 (lato 1)
l2 (lato 2)
l3 (lato 3)


p (semiperimetro) = ?

  1. P=l_1+l_2+l_3
  2. p=\frac{P}{2}
  3. A=\sqrt{p(p-l_1)(p-l_2)(p-l_3)}
  • P = l1+l2+l3
  • p = P/2
  • A = RADQ(p*(p-l1)*(p-l2)*(p-l3))
Quadrato l (lato)


d (diagonale) = ?

  1. d=\sqrt{2}\cdot l
  2. P=4\cdot l
  3. A=l^2
  • P = 4*L
  • A = L^2
Rettangolo l (larghezza)
a (altezza)


d (diagonale) = ?

Rombo d1 (diagonale 1)
d2 (diagonale 2)


l (lato) = ?

d1 (diagonale 1)
l (lato)


d2 (diagonale 2) = ?

Trapezio
rettangolo
b1 (base maggiore)
b2 (base minore)
h (altezza)


l (lato obliquo) = ?

Trapezio
isoscele
b1 (base maggiore)
b2 (base minore)
h (altezza)


l (lato obliquo) = ?

Cerchio r (raggio)


d (diametro) = ?

  1. d=2\ r
  2. C=2\pi r
  3. A=\pi r^2
  • C = 2*PI.GRECO()*r
  • A = PI.GRECO()*r^2

Figura solida Dati Elaborazione Foglio di calcolo
Cubo l (spigolo)


d2 (diagonale 2d) = ?
d3 (diagonale 3d) = ?
Sf (superficie faccia) = ?

  1. d_2=\sqrt{2}\cdot l
  2. d_3=\sqrt{3}\cdot l
  3. S_f=l^2
  4. S=6\cdot S_f
  5. V=l^3
Parallelepipedo
rettangolo
l1 (spigolo 1)
l2 (spigolo 2)
l3 (spigolo 3)


d12 (diagonale 1-2) = ?
d13 diagonale 1-3) = ?
d23 (diagonale 2-3) = ?
d123 (diagonale 1-2-3) = ?
P12 (perimetro 1-2) = ?
P13 (perimetro 1-3) = ?
P23 (perimetro 2-3) = ?
S12 (superficie 1-2) = ?
S13 (superficie 1-3) = ?
S23 (superficie 2-3) = ?

  1. d_{12}=\sqrt{{l_1}^2+{l_2}^2}
  2. d_{13}=\sqrt{{l_1}^2+{l_3}^2}
  3. d_{23}=\sqrt{{l_2}^2+{l_3}^2}
  4. d_{123}=\sqrt{{l_1}^2+{l_2}^2+{l_3}^2}
  5. P_{12}=2\cdot(l_1+l_2)
  6. P_{13}=2\cdot(l_1+l_3)
  7. P_{23}=2\cdot(l_2+l_3)
  8. S_{12}=l_1\cdot l_2
  9. S_{13}=l_1\cdot l_3
  10. S_{23}=l_2\cdot l_3
  11. S=2\cdot\left(S_{12}+S_{13}+S_{23}\right)
  12. V={l_1}\cdot{l_2}\cdot{l_3}
  13. V=S_{12}\cdot l_3
  14. V=S_{13}\cdot l_2
  15. V=S_{23}\cdot l_1
Piramide
a base quadrata
l (lato)
h (altezza)


a (apotema) = ?
Sb (superficie di base) = ?
Sf (superficie faccia) = ?

  1. a=\sqrt{{h}^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2
  2. S_{b}=l^2
  3. S_{f}=\frac{l\cdot a}{2}
  4. S=S_b+4\ S_f
  5. V=\frac{S_b\cdot h}{3}
Cilindro r (raggio)
h (altezxza)


c (circonferenza) = ?
Sb (superficie base) = ?
Sl (superficie laterale) = ?

  1. c = 2\pi r
  2. S_b=\pi r^2
  3. S_l = c\cdot h
  4. S=2\cdot S_b+S_l
  5. V = S_b\cdot h
Cono r (raggio)
h (altezza)


c (circonferenza) = ?
a (apotema) = ?
Sb (superficie di base) = ?
Sl (superficie laterale) = ?

  1. c = 2\pi r
  2. a=\sqrt{h^2+r^2}
  3. S_b = \pi r^2
  4. S_l = \frac{c\cdot a}{2}
  5. S=S_b+S_l
  6. V=\frac{S_b\cdot h}{3}
Sfera r (raggio)


d (diametro) = ?
c (circonferenza) = ?

  1. d=2\ r
  2. c = 2\pi r
  3. S = 4\pi r^2
  4. V = \frac{4}{3}\pi r^3
  • S = 4*PI.GRECO()*r^2
  • V = 4/3*PI.GRECO()*r^3

Esercizio 59

Scrivi l’equazione della retta r della figura e considera su r un punto C variabile.

  1. Determina il baricentro G del triangolo ABC e scrivi l’equazione del luogo descritto a G.
    Calcola le coordinate di C quando G hscissa 3.
  2. Determina C nel primo quadrante in modo che \overline{AC}=\sqrt{17} e trova l’ortocentro H di ABC.
  3. Trova C in modo il triangolo ABC sia isoscele, con base AB, e determina l’incentro di ABC.

Dati del problema

  • A=(1,0)
  • B=(5,0)
  • Q=(1,2)

Costruzione

  • r: \frac{y-y_0}{y_Q-y_0}=\frac{x-x_0}{x_Q-x_0}, … r: y=2x
  • C=(x,2x)

Quesiti

  1. G=\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3},\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right), …, G=\left(\frac{1}{3}x+2,\frac{2}{3}x\right)
    luogo(G,C): …, y=2x-4
    x_G=3, …, C=(3,6)
  2. \overline{AC}=\sqrt{17}, …, C=(2,4), …, H=\left(2 , \frac{3}{4}\right)
  3. \overline{AC}=\overline{BC}, …, C=(3,6)

Pi greco – Metodo di Archimede

Da Wikipedia

Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane.
Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data.
L’area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.

Il sofista Antifonte (430 a.C.) tentò di determinare l’area del cerchio inscrivendovi dei triangoli sempre più piccoli, fino a quando la sua area non “esaurisce”.

Un più famoso esempio di applicazione del metodo di esaustione è quello della quadratura del cerchio effettuata da Archimede.
Egli però utilizzò due metodi, quello di esaustione, inscrivendo poligoni regolari su di un cerchio di raggio unitario, e il metodo di compressione, circoscrivendo cioè i poligoni al cerchio.
In questo modo all’aumentare del numero dei lati dei poligoni le figure tenderanno ad avvicinarsi alla forma del cerchio, tanto che egli ottenne una misura abbastanza precisa del π.
Il metodo di esaustione venne descritto all’interno del Metodo, un libro di Archimede in cui spiega questo procedimento.

Il metodo di Archimede utilizza diversi trucchi della geometria: le proprietà dell’esagono, r=L, il Teorema di Pitagora, un criterio di similitudine, \frac{L_C}{L_I}=\frac{A_C}{A_I}, …

A ogni passo si costruiscono due poligoni simili, inscritto e circoscritto, e si ottengono due nuove approssimazioni di π, per difetto e per eccesso, con valore sempre più vicino a quello esatto

Perimetro del poligono inscritto < Circonferenza < Perimetro del poligono circoscritto

P_I < C < P_C

P_I < \pi D < P_C

\frac{P_I}{D} < \pi < \frac{P_C}{D}

\pi_I<\pi<\pi_C


Situazione iniziale

Un esagono inscritto e un esagono circoscritto (n=6)

Esagono inscritto Esagono circoscritto r=1
Lato L_I=r L_C=\frac{A_C}{A_I}L_I L_I=1

L_C=\frac{2}{\sqrt{3}}

Apotema A_I=\sqrt{r^2-\left(\frac{L_I}{2}\right)^2} A_C=r

\Delta =A_C-A_I

A_I=\frac{\sqrt{3}}{2}

A_C=1

\Delta =1-\frac{\sqrt{3}}{2}

Perimetro P_I=nL_I P_C=nL_C P_I=6

P_C=\frac{12}{\sqrt{3}}

π \pi_I=\frac{P_I}{D} \pi_C=\frac{P_C}{D} \pi_I=3

\pi_C=\frac{6}{\sqrt{3}}

Δ è la differenze tra i 2 apotemi necessaria per il passo successivo…


Passi successivi

Un poligono inscritto e un poligono circoscritto con numero di lati doppio rispetto al passo precedente

Poligono inscritto Poligono circoscritto
Lato L_I=\sqrt{\left(\frac{L_i}{2} \right)^2+\Delta^2} L_C=\frac{A_C}{A_I}L_I
Apotema A_I=\sqrt{r^2-\left(\frac{L_I}{2}\right)^2} A_C=r
\Delta =A_C-A_I
Perimetro P_I=nL_I P_C=nL_C
π \pi_I=\frac{P_I}{D} \pi_C=\frac{P_C}{D}

Approssimazioni

n

\pi_IEsaustione

\pi_CCompressione
6 3,0000000000 3,4641016151
12 3,1058285412 3,2153903092
24 3,1326286133 3,1596599421
48 3,1393502030 3,1460862151
96 3,1410319509 3,1427145996
192 3,1414524723 3,1418730500
384 3,1415576079 3,1416627471
768 3,1415838921 3,1416101766
1536 3,1415904632 3,1415970343
3072 3,1415921060 3,1415937488
6144 3,1415925167 3,1415929274
12288 3,1415926194 3,1415927220
24576 3,1415926450 3,1415926707

(Libro di testo)

Per semplificare: consideriamo solo la fase di esaustione e sostituiamo

L_{2n}=\sqrt{r\left(2r - \sqrt{4r^2-L_n^2}\right)}

Con r=1

L_{2n}=\sqrt{2 - \sqrt{4-L_n^2}}

Se il primo poligono è un quadrato

  • L_4=\sqrt{2}
  • L_8=\sqrt{2-\sqrt{2}}

Naturalmente

\pi \approx \frac{nL_n}{2}


RISORSE