Category Archives: INVALSI

INVALSI – V – Esempio 3 – 8

Aldo ha messo in un sacchetto tre foglietti di carta.
Sul primo ha scritto la lettera E, sul secondo la lettera R e sul terzo la lettera T.
Dopo aver mischiato i foglietti esegue tre estrazioni a caso senza rimettere i foglietti estratti nel sacchetto.
Qual è la probabilità che escano nell’ordine le lettere T, R, E in modo da formare la parola “TRE”?


Gli anagrammi di E, R, T sono ERT, ETR, RET, RTE, TER, TRE.
Il numero di anagrammi con 3 lettere diverse è 3! = 6

La probabilità di estrarre la sequenza “TRE” è: \frac{1}{6} = 16,6… %



Oppure considera le probabilità

p(A ∩ B) = p(A)·p(B|A)
p(A ∩ B ∩ C) = p(A)·p(B ∩ C|A) = p(A)·p(B|A)·p(C|A ∩ B)

Cioè

p(“TRE”)
= p(“T”)·p(“RE” | “T)
= p(“T”)·p(“R” | “T)·p(“E” | “TR”)
= \frac{1}{3} ·p(“R” | “T)·p(“E” | “TR”)
= \frac{1}{3} ·\frac{1}{2} ·p(“E” | “TR”)
= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1}
= \frac{1}{6}

INVALSI – II – 2014-15 – 23

Lo stesso test di matematica è stato proposto a due diversi gruppi di studenti.
Il primo gruppo, composto da 20 studenti, ha ottenuto un punteggio medio di 85 e il secondo, composto da 80 studenti, ha ottenuto un punteggio medio di 65.
Qual è il punteggio medio ottenuto dai 100 studenti dei due gruppi?


Osserva

  • Punteggio medio 1° gruppo: \frac{S_1}{N_1} = 85
    • N_1 = 20
    • S_1 = 1700
  • Punteggio medio 2° gruppo: \frac{S_2}{N_2} = 65
    • N_2 = 80
    • S_2 = 5200
  • Punteggio medio di tutti gli studenti: \frac{S}{N}\frac{S_1+S_2}{N_1+N_2} = … = 69

INVALSI – II – 2016-17 – 17

In una gara motociclistica la moto M ha probabilità di vincere la gara:

  • 0,3 se il terreno è bagnato;
  • 0,6 se il terreno è asciutto.

La probabilità che il giorno della gara il terreno sia asciutto è 0,2.

Il diagramma può aiutare a determinare, per esempio, la probabilità che il terreno sia asciutto e che la moto M perda la gara.
Essa è 0,2 ∙ 0,4 = 0,08.
Qual è la probabilità che la moto M vinca la gara?


Quindi la probabilità di vincere è

p(“terreno bagnato”)*p(“vince con terreno bagnato”) + p(“terreno asciutto”)*p(“vince con terreno asciutto”)
= 0,8*0,3 + 0,2*0,6
= 0,24 + 0,12
= 0,36 (36,0 %)


Osserva la probabilità di tutti gli eventi possibili…

p(“terreno bagnato”)*p(“vince con terreno bagnato”) + p(“terreno bagnato”)*p(“perde con terreno bagnato”) +
p(“terreno asciutto”)*p(“vince con terreno asciutto”) + p(“terreno asciutto”)*p(“perde con terreno asciutto”)

= 0,8*0,3 + 0,8*0,7 + 0,2*0,6 + 0,2*0,4
= 0,24 + 0,56 + 0,12 + 0,08
= 1 (100 %)

INVALSI – II – 2014-15 – 6

Da un mazzo di 52 carte da gioco (composto da 13 carte per ognuno dei semi: cuori, quadri, fiori, picche) sono stati tolti i 4 assi.
Si estrae una carta a caso.
Qual è la probabilità che sia di cuori?

Da un mazzo di 52 carte uguale al precedente sono state tolte alcune carte di fiori.
Dopo questa operazione la probabilità di estrarre, a caso, una carta di fiori è 6/45.
Quante carte di fiori sono state tolte?


Da un mazzo di 52 carte da gioco (composto da 13 carte per ognuno dei semi: cuori, quadri, fiori, picche) sono stati tolti i 4 assi. Si estrae una carta a caso. Qual è la probabilità che sia di cuori?

Carte tolte Mazzo di carte p()
12345678910JQK
12345678910JQK
12345678910JQK
12345678910JQK
\frac{13}{52}\frac{1}{4}
1
1

1
1
2345678910JQK
2345678910JQK

2345678910JQK
2345678910JQK
\frac{12}{48} = \frac{1}{4}

Da un mazzo di 52 carte uguale al precedente sono state tolte alcune carte di fiori. Dopo questa operazione la probabilità di estrarre, a caso, una carta di fiori è 6/45. Quante carte di fiori sono state tolte?

Per tentativi…

Carte tolte Mazzo di carte p()



\frac{13}{52}






\frac{12}{51}






\frac{11}{50}






\frac{10}{49}






\frac{9}{48}






\frac{8}{47}






\frac{7}{46}






\frac{6}{45}

Oppure

\frac{13-x}{52-x}=\frac{6}{45}

x=7

INVALSI – II – 2105-16 – 29

Nella scatola A vi sono 6 palline verdi e 4 rosse.
Nella scatola B vi sono invece 12 palline verdi e 5 rosse.
Quante palline verdi si devono spostare dalla scatola B alla scatola A affinché  la probabilità di estrarre una pallina verde da A diventi uguale alla probabilità di estrarre una pallina verde da B?

Per tentativi…

Palline
spostate
A p( ) p(  ) B p( ) p(  )

\frac{6}{{10} \frac{4}{{10}
\frac{12}{{17} \frac{5}{{17}

\frac{7}{11} \frac{4}{11}
\frac{11}{16} \frac{5}{16}

\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \frac{4}{12}=\frac{1}{3}
\frac{10}{15}=\frac{2}{3} \frac{5}{15}=\frac{1}{3}

Oppure

  • \frac{6+x}{10+x}=\frac{12-x}{17-x}
  • x=2

INVALSI – II – 2016-17 – 20

Due urne A e B contengono ciascuna tre bigliettini numerati con i numeri 1, 2 e 3.
Si estrae un bigliettino dall’urna A e poi un bigliettino dall’urna B.

  1. Completa l’elenco di tutti i possibili esiti che si possono ottenere: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), …
  2. Si estrae un bigliettino dall’urna A e poi uno dall’urna B e si esegue la somma dei due numeri estratti.
    Fra tutte le possibili somme che si possono ottenere, qual è la più probabile?

Estraendo un bigliettino da ciascun urna si ottengono gli esiti nella tabella (3x3=9)


Elenco di tutti i possibili esiti

  • (1,1), (1,2), (1,3)
  • (2,1), (2,2), (2,3)
  • (3,1), (3,2), (3,3)

Conteggio del numero di esiti per ogni somma

Somma esiti numero probabilità
2 1+1 1 \frac{1}{9} 11.1… %
3 1+2
2+1
2 \frac{2}{9} 22.2… %
4 1+3
2+2
3+1
3 \frac{3}{9} 33.3… %
5 2+3
3+2
2 \frac{2}{9} 22.2… %
6 3+3 1 \frac{1}{9} 11.1… %

Tutti

9 \frac{9}{9} 100 %

L’esito più probabile è 4