Category Archives: INVALSI

INVALSI – V – Esempio 2 – 3-4-5

In uno studio clinico è stato messo a punto e somministrato a un campione estratto da una popolazione un test per diagnosticare una malattia.
I risultati del test sul campione sono riportati in tabella.

Malati Sani TOTALE
Test positivo 95 105 200
Test negativo 5 795 800
TOTALE 100 900 1000
  1. Qual è la percentuale di persone malate del campione?
  2. Qual è la probabilità che una persona malata sia risultata negativa al test?
  3. Si definisce falso positivo una persona sana che risulta positiva al test.Qual è la probabilità che una persona che ha partecipato al test sia un falso positivo?

Individua le categorie nella tabella…

  1. Qual è la percentuale di persone malate del campione?
    Malati Sani TOTALE
    Test positivo 95 105 200
    Test negativo 5 795 800
    TOTALE 100 900 1000

    \frac{100}{1000} = 10%

  2. Qual è la probabilità che una persona malata sia risultata negativa al test?
    Malati Sani TOTALE
    Test positivo 95 105 200
    Test negativo 5 795 800
    TOTALE 100 900 1000

    \frac{5}{100} = 5%

  3. Si definisce falso positivo una persona sana che risulta positiva al test.
    Qual è la probabilità che una persona che ha partecipato al test sia un falso positivo?

    Malati Sani TOTALE
    Test positivo 95 105 200
    Test negativo 5 795 800
    TOTALE 100 900 1000

    \frac{105}{1000} = 10,5%

INVALSI – V – Esempio 1 – 7

I test clinici sono soggetti a errore; a volte non rilevano una malattia in persone malate e a volte la rilevano in persone sane.
Una malattia colpisce il 2% delle persone di una popolazione.
Un test clinico risulta positivo, cioè rileva la malattia, nel 90% delle persone malate e nell’1% delle persone sane.

La situazione è descritta dal diagramma ad albero seguente.

Un individuo della popolazione si è sottoposto al test che è risultato positivo.
Qual è la probabilità che l’individuo sia malato?



Osserva

  • p(“malato” e “test positivo”) = 2% * 90% = \frac{180}{10000}
  • p(“malato” e “test negativo”) = 2% * 10% = \frac{20}{10000}
  • p(“sano” e “test positivo”) = 98% * 1% = \frac{98}{10000}
  • p(“sano” e “test negativo”) = 98% * 99% = \frac{9702}{10000}
  • p(“tutti i casi”) = \frac{10000}{10000} = 1

Osserva

  • Circa 20 persone su 10.000 risultano negative al test ma sono malate…
  • Circa 98 persone su 10.000 risultano positive al test ma non sono malate…
  • Circa 278 persone su 10.000 risultano positive al test ma di queste soltanto 180 sono effettivamente malate…
  • Circa 98 persone su 278 non sono malate anche se il test è risultato positivo…

Quindi

  • p(“test positivo”)
    • = p(“malato” e “test positivo”) + p(“sano” e “test positivo”)
    • = \frac{180}{10000} + \frac{98}{10000}
    • = \frac{278}{10000}
  • p(“malato” | “test positivo”)
    • = p(“malato” e “test positivo”) / p(“test positivo”)
    • = \frac{180}{10000} · \frac{10000}{278}
    • = \frac{180}{278}
    • ~ 0,6775 (67,75%)

INVALSI – V – Esempio 1 – 4

Ogni esame universitario ha un peso dato dal numero di CFU (crediti formativi universitari).
La media pesata dei voti degli esami sostenuti si calcola nel modo seguente:

  • si moltiplica il voto di ciascun esame per il relativo numero di CFU
  • si sommano tutti i prodotti così ottenuti
  • si divide il risultato per il numero totale di CFU

Nella seguente tabella sono riportati i voti dei primi tre esami sostenuti da Giovanna.

Voto Numero
CFU
Esame 1 25 12
Esame 2 20 6
Esame 3 23 3
Esame 4 ? 12

Quale voto deve prendere Giovanna nel prossimo esame (esame 4) da 12 CFU per avere una media pesata uguale a 25?


Per tentativi…

  1. x=30, m = \frac{25\cdot 12+20\cdot 6+23\cdot 3+30\cdot 12}{12+6+3+12} = 25,7272…
  2. x=29, m = \frac{25\cdot 12+20\cdot 6+23\cdot 3+29\cdot 12}{12+6+3+12} = 25,3636…
  3. x=28, m = \frac{25\cdot 12+20\cdot 6+23\cdot 3+28\cdot 12}{12+6+3+12} = 25

Sia x il voto del 4° esame, imponi che la media pesata corrispondente sia uguale a 25

\frac{25\cdot 12+20\cdot 6+23\cdot 3+x\cdot 12}{12+6+3+12} = 25

x = 28

INVALSI – V – Esempio 3 – 8

Aldo ha messo in un sacchetto tre foglietti di carta.
Sul primo ha scritto la lettera E, sul secondo la lettera R e sul terzo la lettera T.
Dopo aver mischiato i foglietti esegue tre estrazioni a caso senza rimettere i foglietti estratti nel sacchetto.
Qual è la probabilità che escano nell’ordine le lettere T, R, E in modo da formare la parola “TRE”?


Gli anagrammi di E, R, T sono ERT, ETR, RET, RTE, TER, TRE.
Il numero di anagrammi con 3 lettere diverse è 3! = 6

La probabilità di estrarre la sequenza “TRE” è: \frac{1}{6} = 16,6… %



Oppure considera le probabilità

p(A ∩ B) = p(A)·p(B|A)
p(A ∩ B ∩ C) = p(A)·p(B ∩ C|A) = p(A)·p(B|A)·p(C|A ∩ B)

Cioè

p(“TRE”) = p(“T”)·p(“RE” | “T”) = p(“T”)·p(“R” | “T”)·p(“E” | “TR”) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{6}

INVALSI – II – 2014-15 – 23

Lo stesso test di matematica è stato proposto a due diversi gruppi di studenti.
Il primo gruppo, composto da 20 studenti, ha ottenuto un punteggio medio di 85 e il secondo, composto da 80 studenti, ha ottenuto un punteggio medio di 65.
Qual è il punteggio medio ottenuto dai 100 studenti dei due gruppi?


Osserva

  • Punteggio medio 1° gruppo: \frac{S_1}{N_1} = 85
  • Punteggio medio 2° gruppo: \frac{S_2}{N_2} = 65
  • Punteggio medio di tutti gli studenti: \frac{S}{N}\frac{S_1+S_2}{N_1+N_2} = ?

Inoltre

  • N_1=20, S_1=1700
  • N_2=80, S_2=5200

Quindi: \frac{S}{N} = … = 69

INVALSI – II – 2016-17 – 17

In una gara motociclistica la moto M ha probabilità di vincere la gara:

  • 0,3 se il terreno è bagnato;
  • 0,6 se il terreno è asciutto.

La probabilità che il giorno della gara il terreno sia asciutto è 0,2.

Il diagramma può aiutare a determinare, per esempio, la probabilità che il terreno sia asciutto e che la moto M perda la gara.
Essa è 0,2 ∙ 0,4 = 0,08.
Qual è la probabilità che la moto M vinca la gara?


Quindi la probabilità di vincere è

p(“terreno bagnato”)*p(“vince con terreno bagnato”) + p(“terreno asciutto”)*p(“vince con terreno asciutto”)
= 0,8*0,3 + 0,2*0,6
= 0,24 + 0,12
= 0,36 (36,0 %)


Osserva la probabilità di tutti gli eventi possibili…

p(“terreno bagnato”)*p(“vince con terreno bagnato”) + p(“terreno bagnato”)*p(“perde con terreno bagnato”) +
p(“terreno asciutto”)*p(“vince con terreno asciutto”) + p(“terreno asciutto”)*p(“perde con terreno asciutto”)

= 0,8*0,3 + 0,8*0,7 + 0,2*0,6 + 0,2*0,4
= 0,24 + 0,56 + 0,12 + 0,08
= 1 (100 %)

INVALSI – II – 2014-15 – 6

Da un mazzo di 52 carte da gioco (composto da 13 carte per ognuno dei semi: cuori, quadri, fiori, picche) sono stati tolti i 4 assi.
Si estrae una carta a caso.
Qual è la probabilità che sia di cuori?

Da un mazzo di 52 carte uguale al precedente sono state tolte alcune carte di fiori.
Dopo questa operazione la probabilità di estrarre, a caso, una carta di fiori è 6/45.
Quante carte di fiori sono state tolte?


Da un mazzo di 52 carte da gioco (composto da 13 carte per ognuno dei semi: cuori, quadri, fiori, picche) sono stati tolti i 4 assi. Si estrae una carta a caso. Qual è la probabilità che sia di cuori?

Carte tolte Mazzo di carte p()
12345678910JQK
12345678910JQK
12345678910JQK
12345678910JQK
\frac{13}{52}\frac{1}{4}
1
1

1
1
2345678910JQK
2345678910JQK

2345678910JQK
2345678910JQK
\frac{12}{48} = \frac{1}{4}

Da un mazzo di 52 carte uguale al precedente sono state tolte alcune carte di fiori. Dopo questa operazione la probabilità di estrarre, a caso, una carta di fiori è 6/45. Quante carte di fiori sono state tolte?

Per tentativi…

Carte tolte Mazzo di carte p()



\frac{13}{52}






\frac{12}{51}






\frac{11}{50}






\frac{10}{49}






\frac{9}{48}






\frac{8}{47}






\frac{7}{46}






\frac{6}{45}

Oppure

\frac{13-x}{52-x}=\frac{6}{45}

x=7

INVALSI – II – 2105-16 – 29

Nella scatola A vi sono 6 palline verdi e 4 rosse.
Nella scatola B vi sono invece 12 palline verdi e 5 rosse.
Quante palline verdi si devono spostare dalla scatola B alla scatola A affinché  la probabilità di estrarre una pallina verde da A diventi uguale alla probabilità di estrarre una pallina verde da B?

Per tentativi…

Palline
spostate
A p( ) p(  ) B p( ) p(  )

\frac{6}{{10} \frac{4}{{10}
\frac{12}{{17} \frac{5}{{17}

\frac{7}{11} \frac{4}{11}
\frac{11}{16} \frac{5}{16}

\frac{8}{12}=\frac{2}{3} \frac{4}{12}=\frac{1}{3}
\frac{10}{15}=\frac{2}{3} \frac{5}{15}=\frac{1}{3}

Oppure

  • \frac{6+x}{10+x}=\frac{12-x}{17-x}
  • x=2

INVALSI – II – 2016-17 – 20

Due urne A e B contengono ciascuna tre bigliettini numerati con i numeri 1, 2 e 3.
Si estrae un bigliettino dall’urna A e poi un bigliettino dall’urna B.

  1. Completa l’elenco di tutti i possibili esiti che si possono ottenere: (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), …
  2. Si estrae un bigliettino dall’urna A e poi uno dall’urna B e si esegue la somma dei due numeri estratti.
    Fra tutte le possibili somme che si possono ottenere, qual è la più probabile?

Estraendo un bigliettino da ciascun urna si ottengono gli esiti nella tabella (3x3=9)


Elenco di tutti i possibili esiti

  • (1,1), (1,2), (1,3)
  • (2,1), (2,2), (2,3)
  • (3,1), (3,2), (3,3)

Conteggio del numero di esiti per ogni somma

Somma esiti numero probabilità
2 1+1 1 \frac{1}{9} 11.1… %
3 1+2
2+1
2 \frac{2}{9} 22.2… %
4 1+3
2+2
3+1
3 \frac{3}{9} 33.3… %
5 2+3
3+2
2 \frac{2}{9} 22.2… %
6 3+3 1 \frac{1}{9} 11.1… %

Tutti

9 \frac{9}{9} 100 %

L’esito più probabile è 4