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Sfida a dadi

Matematica Senza Frontiere 2019-2020 – Accoglienza

Durante un pomeriggio piovoso, Antonio e Bernardo si sono divertiti a costruire dei dadi un po’ particolari: i numeri sulle facce opposte sono uguali. Antonio ha fabbricato il dado A con i numeri 2, 4, 10 e Bernardo il dado B con i numeri 3, 5, 8. Lanciano i loro dadi contemporaneamente. Ciascuna faccia ha la stessa probabilità di apparire. Un giocatore vince quando il numero ottenuto sulla faccia superiore del suo dado è maggiore del numero che compare su quella dell’avversario.

Qual è la probabilità che Antonio vinca? Motivate la risposta.

Arriva la sorella Cloe che lancia loro la seguente sfida: «Costruitemi un dado dello stesso tipo con altri tre numeri tale che, se gioco contro Antonio, io abbia meno del 50% di possibilità di vincere mentre, se gioco contro Bernardo, abbia più del 50% di possibilità di vincere.»

Fornite un esempio di dado che risolva questa sfida.


Qual è la probabilità che Antonio vinca?


Il dado A può far apparire i numeri 2, 4, 10 con probabilità 2/6 = 1/3.
Il dado B può far apparire i numeri 3, 5, 8 con probabilità 2/6 = 1/3

Considera tutte i possibili esiti del lancio dei due dadi

Ogni esito ha probabilità 1/9.

Antonio vince in 4 casi su 9 quindi vince con probabilità  4/9 = 0,4444… =  44,44 %.
Bernardo vince in 5 casi su 9 quindi vince con probabilità  5/9 = 0,5555… =  55,55 %. 


Fornite un esempio di dado…


Prova con 1, 6, 7

Cloe contro Antonio → 4/9
Cloe contro Bernardo → 4/9


Prova con 1, 6, 9

Cloe contro Antonio → 4/9
Cloe contro Bernardo → 5/9


Prova con 1, 7, 9

Cloe contro Antonio → 4/9
Cloe contro Bernardo → 5/9


Prova con 6, 7, 9

Cloe contro Antonio → 6/9
Cloe contro Bernardo → 7 /9

Numeri incatenati

Se si scrivono tutti i numeri positivi in ordine crescente, senza lasciare spazi, si ottiene 012345678910111213141516…
Per conoscere la posizione di un numero, si conta quante cifre si sono dovute scrivere prima che il numero sia apparso per la prima volta in questa lista.
Ad esempio, la posizione di 7 è 7, la posizione di 23 è 2, la posizione di 111 è 12.
Determina la posizione dei seguenti numeri: 171, 321 e 2019.


Discussione degli esempi

Numero prima occorrenza quali cifre prima quante cifre prima
7 0 … 6 7 8 0 … 6 1 7
23 0 1 2 3 0 1 1 2
111 0 … 9 10 11 12 0 … 9
10
10·1
2
10
2
12

Discussione dei quesiti

Numero prima occorrenza quali cifre prima quante cifre prima
171 0 … 9 10 … 16 17 18 0 … 9
10 … 16
10·1
2
10
14
24
321 0 … 9 10 … 99 100 … 131 132 133 0 … 9
10 … 99
100 … 131
1
10·1
90·2
32·3
1
10
180
96
1
287
2019 0 … 9 10 … 99 100 … 999 1000 … 1919 1920 1921

 

0 … 9
10 … 99
100 … 999
1000 … 1919
19
10·1
90·2
900·3
920·4
2
10
180
2700
3680
2
6572

Codifica: Python

In tutti i sensi

Un numero intero è palindromo quando si può leggere da destra a sinistra come da sinistra a destra.
Per esempio 235 532 e 5 418 145 sono palindromi.
Individuate il più grande numero palindromo di cinque cifre che sia il quadrato di un palindromo di tre cifre.

Decrescita programmata

Annamaria si diverte con le successioni numeriche.
Sceglie un numero intero naturale come primo numero della successione; calcola il successivo moltiplicando tra loro le cifre del numero.
Procede analogamente con il numero ottenuto finché non ottiene un numero con una sola cifra.

Ad esempio, iniziando da 68, ottiene la successione di quattro numeri 68, 48, 32, 6.

Quale numero intero naturale inferiore a 100 comporta, seguendo il procedimento descritto, la successione più lunga?


Considera i numeri da 1 a 99 ed elimina i numeri con sequenze più corte

1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29 – 30 – 31 – 32 – 33 – 34 – 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 40 – 41 – 42 – 43 – 44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 49 – 50 – 51 – 52 – 53 – 54 – 55 – 56 – 57 – 58 – 59 – 60 – 61 – 62 – 63 – 64 – 65 – 66 – 67 – 68 – 69 – 70 – 71 – 72 – 73 – 74 – 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 80 – 81 – 82 – 83 – 84 – 85 – 86 – 87 – 88 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99


I numeri da 1 a 9 hanno una sola cifra

  • Elimina: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
  • Rimangono: 10 – 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19 – 20 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29 – 30 – 31 – 32 – 33 – 34 – 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 40 – 41 – 42 – 43 – 44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 49 – 50 – 51 – 52 – 53 – 54 – 55 – 56 – 57 – 58 – 59 – 60 – 61 – 62 – 63 – 64 – 65 – 66 – 67 – 68 – 69 – 70 – 71 – 72 – 73 – 74 – 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 80 – 81 – 82 – 83 – 84 – 85 – 86 – 87 – 88 – 89 – 90 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99

La cifra 0 porta a sequenze di lunghezza 2

  • Esempio: 20 => 0
  • Elimina: 10 20 30 40 50 60 70 80 90
  • Rimangono: 11 – 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19 – 21 – 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29 – 31 – 32 – 33 – 34 – 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 41 – 42 – 43 – 44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 49 – 51 – 52 – 53 – 54 – 55 – 56 – 57 – 58 – 59 – 61 – 62 – 63 – 64 – 65 – 66 – 67 – 68 – 69 – 71 – 72 – 73 – 74 – 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 81 – 82 – 83 – 84 – 85 – 86 – 87 – 88 – 89 – 91 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99

La cifra 1 porta a sequenze di lunghezza 2

  • Esempio: 21 => 2
  • Elimina: 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 31 41 51 61 71 81 91
  • Rimangono: 22 – 23 – 24 – 25 – 26 – 27 – 28 – 29 – 32 – 33 – 34 – 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 42 – 43 – 44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 49 – 52 – 53 – 54 – 55 – 56 – 57 – 58 – 59 – 62 – 63 – 64 – 65 – 66 – 67 – 68 – 69 – 72 – 73 – 74 – 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 82 – 83 – 84 – 85 – 86 – 87 – 88 – 89 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99

Le cifre con un prodotto inferiore a 10 producono sequenze di lunghezza 2

  • Esempio: 33 => 9
  • Elimina: 22 23 24 31 32 33  41 42 51 61 71 81 91
  • Rimangono: 25 – 26 – 27 – 28 – 29 – 34 – 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 43 – 44 – 45 – 46 – 47 – 48 – 49 – 52 – 53 – 54 – 55 – 56 – 57 – 58 – 59 – 62 – 63 – 64 – 65 – 66 – 67 – 68 – 69 – 72 – 73 – 74 – 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 82 – 83 – 84 – 85 – 86 – 87 – 88 – 89 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99

La cifra 5 insieme con una cifra pari porta a sequenze di lunghezza 3

  • Esempio: 25 => 10 => 0
  • Elimina: 25 45 52 54 56 58 65 85
  • Rimangono: 26 – 27 – 28 – 29 – 34 – 35 – 36 – 37 – 38 – 39 – 43 – 44 – 46 – 47 – 48 – 49 – 53 – 55 – 57 – 59 – 62 – 63 – 64 – 66 – 67 – 68 – 69 – 72 – 73 – 74 – 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 82 – 83 – 84 – 86 – 87 – 88 – 89 – 92 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98 – 99

Le cifre con il prodotto con una cifra 1 producono sequenze di lunghezza 3

  • Esempio: 36 => 18 => 8
  • Elimina: 25 26 27 28 29 34 35 36 37 43 44 52 53 62 63 72 73 82 92 99
  • Rimangono: 38 – 39 – 46 – 47 – 48 – 49 – 55 – 57 – 59 – 64 – 66 – 67 – 68 – 69 – 74 – 75 – 76 – 77 – 78 – 79 – 83 – 84 – 86 – 87 – 88 – 89 – 93 – 94 – 95 – 96 – 97 – 98

Analizza i numeri rimasti…




Al contrario

Per ogni numero da 11 a 99 calcola il prodotto delle cifre e collegalo alla sequenza corrispondente, da destra verso sinistra



Codifica: PascalPythonSmall Basic

Al biliardo

Il biliardo americano è un gioco che presenta 15 palle numerate da 1 a 15 e una palla bianca.
La partita finisce quando sul tavolo rimane solamente la palla bianca.
Alla fine della loro partita Bonnie e Clyde contano i rispettivi punti.
Tutte le palle sono state vinte da uno o dall’altro giocatore.

Bonnie raggiunge il doppio dei punti di Clyde benché abbia vinto meno palle.

Indicate le suddivisioni possibili dei punti ottenuti da Bonnie.

Alcune considerazioni

  • 1+2+…15 = 120
  • PuntiBonnie + PuntiClyde = 120
    • PuntiBonnie = 80
    • PuntiClyde = 40
  • PalleBonnie + PalleClyde = 15
  • PalleBonnie < PalleClyde
    • PalleBonnie <= 7

Bisogna ottenere 80 punti utilizzando al più 7 palle.

SOMMA
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 120
15 14 13 12 11 10 75 mancano 5 punti
15 14 13 12 11 10 5 80
15 14 13 12 11 65 mancano 15 punti
15 = 9+6
15 = 8+7
15 14 13 12 11 9 6 80
15 14 13 12 11 8 7 80
15 14 13 12 10 64 mancano 16 punti
16 = 9+7
15 14 13 12 10 9 7 80
15 14 13 11 10 63 mancano 17 punti
17 = 9+8
15 14 13 11 10 9 8 80
15 14 12 11 10 62 mancano 18 punti
impossibile…


Codifica: PascalPythonSmall Basic