Category Archives: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

E.S. 2019 Simulazione 2 – 3

Una scatola contiene 16 palline numerate da 1 a 16.

  1. Se ne estraggono 3, una alla volta, rimettendo ogni volta nella scatola la pallina estratta.
    Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 10 e gli altri due minori di 10?
  2. Se ne estraggono 5 contemporaneamente.
    Qual è la probabilità che il più grande dei numeri estratti sia uguale a 13?

1° quesito

  • p(1° e. = 10) = \frac{1} {16}
  • p(2° e. < 10) = \frac{9} {16}
  • p(3° e. < 10) = \frac{9} {16}
  • p(…) = \frac{1} {16}·\frac{9} {16}·\frac{9} {16} = \frac{81} {4096} = 0,019775… ~ 2 %

2° quesito

  • Probabilità di estrarre 5 numeri di cui 4 minori di 13 e uno il valore 13:
    • p(a-b-c-d-13) = \frac{12}{16}\cdot \frac{11}{15}\cdot \frac{10}{14}\cdot \frac{9}{13}\cdot \frac{1}{12}
    • p(a-b-c-13-d) = \frac{12}{16}\cdot \frac{11}{15}\cdot \frac{10}{14}\cdot \frac{1}{13}\cdot \frac{9}{12}
    • p(a-b-13-c-d) = \frac{12}{16}\cdot \frac{11}{15}\cdot \frac{1}{14}\cdot \frac{10}{13}\cdot \frac{9}{12}
    • p(a-13-b-c-d) = \frac{12}{16}\cdot \frac{1}{15}\cdot \frac{11}{14}\cdot \frac{10}{13}\cdot \frac{9}{12}
    • p(13-a-b-c-d) = \frac{1}{16}\cdot \frac{12}{15}\cdot \frac{11}{14}\cdot \frac{10}{13}\cdot \frac{9}{12}
  • p = 5\cdot\frac{9\cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{12\cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16} = \frac{3\cdot 5 \cdot 11}{7 \cdot 13 \cdot 16} = 0,1133… ~ 11,33 %

oppure

  • Numero di quintuple ordinate con 4 numeri minori di 13 seguiti dal 13 (a-b-c-d-13): {12 \choose 4}
  • Numero di quintuple ordinate con i numeri da 1 a 16 (a-b-c-d-e): {16 \choose 5}
  • p = \frac{{12 \choose 4}} {{16 \choose 5}}\frac{\frac{12!}{4!8!}}{\frac{16!}{5!11!}} = \frac{3\cdot 5 \cdot 11}{7 \cdot 13 \cdot 16} = …

OIS 2017 – Classe V Finale – 12

Livia per andare a scuola usa l’autobus e può utilizzare la linea 1 o la linea 2.
Quando arriva alla fermata sotto casa, la probabilità che il primo autobus che passi sia della linea 1 è 0,6.
La probabilità di trovare posto a sedere sulla linea 1 è 0,2, mentre sulla linea 2 è 0,5.
Questa mattina Livia ha preso il primo autobus che è passato ed è riuscita a sedersi.
Qual è la probabilità che sia arrivata con la linea 1?


Osserva

  • p(“linea 1”) = 0,6 = \frac{6}{10}
  • p(“linea 2”) = 1-p(“linea 1”) = 0,4 = \frac{4}{10}
  • p(“seduta” | “linea 1”) = 0,2 = \frac{2}{10}
  • p(“seduta” | “linea 2”) = 0,5 = \frac{5}{10}
  • p(“seduta”)
    = p(“linea 1”)·p(“seduta” | “linea 1”)+p(“linea 2”)·p(“seduta” | “linea 2”)
    = \frac{6}{10}·\frac{2}{10}+\frac{4}{10}·\frac{5}{10} = \frac{12}{100}+\frac{20}{100} = \frac{32}{100}
  • p(“linea 1” | “seduta”)
    = p(“linea 1” e “seduta”) / p(“seduta”)
    = p(“linea 1”)·p(“seduta” | “linea 1”) / p(“seduta”)
    = \frac{\frac{6}{10}\cdot \frac{2}{10}}{\frac{32}{100}} = \frac{3}{8}

E.S. 1998 – P3 – PNI

Una macchina produce barre di acciaio a sezione circolare la cui lunghezza ottimale dovrebbe essere di 5 metri ed il diametro della sezione di 4 centimetri.
Le barre effettivamente prodotte, che si suppongono tra loro indipendenti, hanno una lunghezza aleatoria con distribuzione normale di media m1 = 5 m e scarto standard σ1=4 cm.
Il diametro della sezione è una variabile aleatoria, indipendente dalla precedente, e con distribuzione normale di media m2 = 4 cm e scarto standard σ2=0, 8 cm.
Una generica barra prodotta può essere direttamente venduta senza modifiche se la sua lunghezza è compresa tra 4,95 m e 5,05 m e la sua sezione tra 2,8 cm e 5,2 cm.

La tavola della funzione di ripartizione della normale standardizzata è data.

Il candidato:

  1. verifichi che la probabilità p di poter mettere in vendita senza modifiche una generica barra prodotta è 0,68;
  2. indicata con fn la frequenza relativa delle barre direttamente vendibili su n barre prodotte, esprima, in funzione di p, la numerosità n necessaria perché la probabilità che fn disti da p più di 0,05 sia non superiore a 0,05;
  3. dato il valore di p rilevato in 1) se su 2000 barre prodotte 1000 risultano non direttamente vendibili, dica se si può sospettare che la macchina non funzioni secondo lo standard riportato sopra, se, cioè, il risultato ottenuto risulta a priori poco probabile (probabilità inferiore a 0,05) subordinatamente alle modalità di funzionamento della macchina, come indicato;
  4. descriva una procedura che consenta di calcolare la probabilità di ottenere la prima barra direttamente vendibile solo all’n-esima prova, al variare di p e di n, e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.

1. Verifichi che la probabilità p di poter mettere in vendita senza modifiche una generica barra prodotta è 0,68

  • p(“lunghezza standard”) = p(4,95 < l < 5,05) = p(-1,25 < z < +1,25)
    = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-1,25}^{+1,25} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz = 2·0,3944 = 0,7888

    • la=4,95 m, za=(4,95-5)/0,04=-1,25
    • lb=5,05 m, zb=(5,05-5)/0,04=+1,25
  • p(“sezione standard”) = p(2,8 < s < 5,2) = p(-1,5 < z < +1,5)
    = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-1,5}^{+1,5} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz = 2·0,4332 = 0,8664

    • sa=2,8, za=(2,8-4)/0,8=-1,5
    • sb=5,2, za=(5,2-4)/0,8=+1,5
  • p(“vendibile”) = p(“lunghezza standard” e “sezione standard”)
    = p(“lunghezza standard”)·p(“sezione standard”)
    = 0,7888·0,8664
    = 0,6834

2. Probabilità che fn disti da p più di 0,05 sia non superiore a 0,05…

  • fn = frequenza relativa delle barre direttamente vendibili su n barre prodotte
  • X = v/n = numero di barre vendibili su n barre prodotto
  • m(X) = m/n = p
  • var(X) = m/n² = p(p-1)/n
  • Teorema di Cebysev
    • p(|X-m|\ >\ \epsilon) \ \leq \ \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
    • p(m-\epsilon \leq X \leq m+\epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
  • p(|v/n-p| > 0,05) ≤ p(p-1)/(n·0,05²) ≤ 0,05
  • n ≥ 1730,9…
  • n ≥ 1731
  • p(m-\epsilon \leq X \leq m+\epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}

3. Su 2000 barre prodotte 1000 risultano non direttamente vendibili…

  • n = 2000 ≥ 1731
  • |v/n-p| = |0,5-06834| = 0,1834 > 0,05
  • La probabilità che avvenga è inferiore a 0,05

4. La probabilità di ottenere la prima barra direttamente vendibile solo all’n-esima prova…

  • p(1°…(n-1)° non vendibili e n° vendibile) =  p(1-p)n-1

Distribuzione normale

X, variabile casuale con distribuzione gaussiana, normale

  • Funzione densità di probabilità: f(x) = k\ e^{-h(x-\mu)^2}
  • Media = μ
  • Curva a campana, un unico picco, simmetrica
  • Moda = media
  • k influenza l’altezza della curva
  • h influenza lo sviluppo orizzontale della curva

Distribuzione gaussiana normalizzata

  • k = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
  • h = \frac{1}{2\sigma^2}
  • Funzione densità di probabilità: f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  • Funzione di distribuzione:  F(X) = \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^x \ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ dx
  • \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^{+\infty} \ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ dx \ = \ 1
  • Media = μ
  • Varianza = σ²
  • p(μ ≤ X ≤ μ) = 68,3%
  • p(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) = 95,5%
  • p(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) = 99,7%

X, variabile casuale con distribuzione normale standardizzata

  • μ=0
  • σ=1
  • Funzione di distribuzione:  F(X) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^z \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz

Data una distribuzione normale con valore medio μ e deviazione standard σ

  • Punteggio z di x, distanza di x dal centro della distribuzione misurata in numero di deviazioni standard
  • z = \frac{x-\mu}{\sigma}
  • x > μ ⇒ z > 0
  • x < μ ⇒ z < 0
  • p(a < X < b) = p(za < z < zb) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{z_a}^{z_b} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz

Variabili casuali continue

X, variabile casuale continua

  • Funzione di distribuzione, F(X), continua nell’intervallo [A, B] di definizione
  • F(X=xi) = p(x ≤ xi), la probabilità di estrarre un elemento x minore di xi dalla popolazione
  • F(X=xi) = p(x ≤ xi) = \displaystyle \int_A^{x_i}\ f(x) \ dx
  • f(x) = F'(X), funzione densità di probabilità
  • p(x = x0) = 0, la probabilità di estrarre un particolare valore x0 è nulla
  • p(a ≤ x ≤ b) = F(b)-F(a) = \displaystyle \int_a^{b}\ f(x) \ dx
  • \displaystyle \int_A^{B}\ f(x) \ dx\ = \ 1

E.S. 1997 Suppletiva – 3 – PNI

La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni di un campione di nuclidi se il campione è sufficientemente numeroso.
Un campione radioattivo contengo 2·1010 nuclidi ciascuno dei quali ha una probabilità p=10-10 di decadere in un secondo.
Calcolare

  1. il numero medio atteso di decadimenti al secondo;
  2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo;
  3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo.

Distribuzione di Poisson

  • p(X=x) = f(x) = e^{-\lambda}\ \frac{\lambda^k}{k!}

1. Il numero medio atteso di decadimenti al secondo

  • n = 2·1010
  • p = 10-10
  • λ = np = 2·1010·10-10 = 2

2. Le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo

  • p(X=x) = f(x) = e^{-2}\ \frac{2^k}{k!}
  • p(X=0) = e-2
  • p(X=1) = 2·e-2
  • p(X=2) = 2·e-2
  • p(X=3) = 4/3·e-2
  • p(X=4) = 2/3·e-2

3. La probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo

  • p(X ≤ 4) = p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4) = 7·e-2
  • p(X > 4) = 1-p(X ≤ 4) = 1-7·e-2 = 0,05265…

Distribuzione esponenziale

X variabile casuale con distribuzione esponenziale se

Funzione di densità di probabilità

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, con λ > 0

Inoltre

  • Funzione di distribuzione: F(x)1-e^{-\lambda x}
  • Media: M(X) = \frac{1}{\lambda}
  • Varianza: σ²\frac{1}{\lambda^2}

Distribuzione uniforme

X variabile casuale X con distribuzione uniforme in [a, b] se

Funzione di densità di probabilità

\[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{b-a} & \text{se $x\in [a,\ b]$} \\ \\ \\ 0 & \text{se $x\notin [a,\ b]$} \end{cases} \]

inoltre

  • Funzione di distribuzione: \[ F(x)= \begin{cases} 0 & \text{se $x\in (-\infty,\ a)$} \\ \\ \\ \frac{x-a}{b-a} & \text{se $x\in [a,\ b)$} \\ \\ \\ 1 & \text{se $x\in [b, \ +\infty]$} \end{cases} \]
  • Media: M(X) = \frac{1}{2}\ (a+b)
  • Varianza: σ² = \frac{1}{12}\ (b-a)^2

E.S. 1993 – 3 – PNI

Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza.
I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente.
A e B hanno probabilità p (0<p<1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta.

  1. Si calcoli la probabilità che l’imputato sia assolto.
  2. Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D che ha una probabilità di decidere per l’assoluzione p’≠p (0<p'<1), si verifichi che la probabilità di assoluzione per l’imputato è maggiore che nel caso precedente se e solo se p’ > 1/2.

1: Imputato assolto

  • Imputato assolto = (A assolve e B assolve e C assolve) oppure (A assolve e B assolve e C condanna) oppure (A assolve e B condanna e C assolve) oppure (A condanna e B assolve e C assolve)
  • p(“Imputato assolto”) = p[(A assolve ∩ B assolve ∩ C assolve) ∪ (A assolve ∩ B assolve ∩ C condanna) ∪ (A assolve ∩ B condanna ∩ C assolve) ∪ (A condanna ∩ B assolve ∩ C assolve)]
    = p(A assolve ∩ B assolve ∩ C assolve) + p(A assolve ∩ B assolve ∩ C condanna) + p(A assolve ∩ B condanna ∩ C assolve) + p(A condanna ∩ B assolve ∩ C assolve)
    = p\cdot p\cdot \frac{1}{2}+p\cdot p\cdot \frac{1}{2}+p\cdot (1-p)\cdot \frac{1}{2}+(1-p)\cdot p\cdot \frac{1}{2}
    = p

2: Giurato D…

  • p(“Imputato assolto”) = …
    = p·p·p’ + p·p·(1-p’) +p(1-p)p’+(1-p)pp’
    = p²+2pp’-2p²p’
  • p²+2pp’-2p²p’ > p

    p > 1/2

E.S. 1993 Suppletiva – 3 – PNI

Una macchina produce pezzi meccanici.
Ogni pezzo prodotto ha una probabilità 0 < p < 1 di essere funzionante e probabilità q=1-p di essere difettoso.

  1. Presi a caso k pezzi prodotti si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
    • E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
    • E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
    • E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
  2. Per ogni k si determini p in modo tale che p(E1)=p(E2).
  3. Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
  4. Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

1|E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”

  • E1: 1° funziona e 2° funziona e … e k° funziona
  • p(E1) = p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona)
    = p(1° funziona)·p(2° funziona)·…·p(k° funziona)
    = p·p·…·p = pk

1|E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”

  • E2: (1° difetta e 2° funziona e … e k° funziona) oppure  (1° funziona e 2° difetta e … e k° funziona) oppure … oppure (1° funziona e 2° funziona e … e k° difetta)
  • p(E2) = p[(1° difetta ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona) ∪ (1° funziona ∩ 2° difetta ∩ … ∩ k° funziona) ∪ … ∪ (1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° difetta)]
    = p(1° difetta ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona) + p(1° funziona ∩ 2° difetta ∩ … ∩ k° funziona) + … + p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° difetta)
    = (1-p)·pk-1+(1-p)·pk-1+ … +(1-p)·pk-1 = k·(1-p)·pk-1

1|E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”

  • E3=no(E1)
  • p(E3) = 1-p(E1) = 1- pk

2: p(E1)=p(E2)

pk = k·(1-p)·pk-1

p = \frac{k}{1+k}


3: Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.

  • E4: 1° funziona e 2° funziona e … e 10° difetta
  • p(E4) = p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ 10° difetta)
    = p(1° funziona)·p(2° funziona)·…·p(10° difetta)
    = p9·(1-p) = … = 0,0323

4: Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

  • E5: nessun pezzo difettoso oppure un solo pezzo difettoso = E1 oppure E2
  • p(E5) = p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2)
    = pk + k·(1-p)·pk-1 = … = 0,736…