Category Archives: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

E.S. 2019 – 5

Si lanciano 4 dadi con facce numerate da 1 a 6

  1. Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi 5?
  2. Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?
  3. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

1. Qual è la probabilità che la somma dei 4 numeri usciti non superi 5?

  • Osserva
    1. 1+1+1+1 = 4
    2. 1+1+1+2 = 5
    3. 1+1+2+1 = 5
    4. 1+2+1+1 = 5
    5. 2+1+1+1 = 5
  • Ci sono 5 possibili esiti (su 6^4) con somma che non superi 5
  • p(X <= 5) = 5/1296 = 0,003858… = 0,3858… %

2. Qual è la probabilità che il prodotto dei 4 numeri usciti sia multiplo di 3?

  • p(x multiplo di 3) = p(x=3 oppure x=6) = p(x=3)+p(x=6) = 2/6 = 1/3
  • p(x non è multiplo di 3) = 1-p(x multiplo di 3) = 1-1/3 = 2/3
  • p(X=x1·x2·x3·x4 non è multiplo di 3)
    = p(x1 non multiplo di 3 ∧ x2 non multiplo di 3 ∧ x3 non multiplo di 3 ∧ x4 non multiplo di 3)
    = p(x1 non multiplo di 3) · p(x2 non multiplo di 3) · p(x3 non multiplo di 3) · p(x4 non multiplo di 3)
    = (2/3)^4 = 16/81
  • p(X= x1·x2·x3·x4 multiplo di 3) = 1 – p(X=x1·x2·x3·x4 non è multiplo di 3) = 1-16/81
    = 65/81 = 0,802469… = 80,2469… %

3. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4?

  • Sia z=1, 2, 3
  • Gli esiti favorevoli sono
    n. 4 Esiti Quanti? Cioè…
    1 4,z,z,z
    z,4,z,z
    z,z,4,z
    z,z,z,4
    27
    27
    27
    27
    {4 \choose 1}\cdot 3\cdot 3\cdot 3
    2 4,4,z,z
    4,z,4,z
    4,z,z,4
    z,4,4,z
    z,4,z,4
    z,z,4,4
    9
    9
    9
    9
    9
    9
    {4 \choose 2}\cdot 3\cdot 3
    3 4,4,4,z
    4,4,z,4
    4,z,4,4
    z,4,4,4
    3
    3
    3
    3
    {4 \choose 3}\cdot 3
    4 4,4,4,4 1 {4 \choose 4}
  •  In tutto sono 175
  • p(…) = 175/1296 = 0,135… = 13,5… %

3. Qual è la probabilità che il massimo numero uscito sia 4? (Il valore 4 potrebbe anche non essere uscito?)

  • Sia q=1, 2, 3, 4
  • p(x=q) = 4/6 = 2/3
  • p(x1, x2, x3, x4, max 4)
    = p(x1 <= 4 ∧ x2 <= 4 ∧x3 <= 4 ∧ x4 <= 4)
    = p(x1 <= 4) · p(x2 <= 4) · p(x3 <= 4) · p(x4 <= 4)
    = (2/3)^4
    = 16/81 = 0,1975… = 19,75 %

Giochi equi…

In ordine alfabetico


Di due diverse lotterie sono stati venduti, rispettivamente, 400 e 350 biglietti.
Avendo acquistato 15 biglietti della prima e 18 biglietti della seconda, in quale delle due lotterie si ha la maggior probabilità di vincere?


 Nel seguente gioco due giocatori estraggono una carta dal mazzo:

  • Il primo giocatore vince 3 € se esce una carta di fiori e vince 5 € se esce una carte di picche
  • Il secondo giocatore vince 4 € se esce una carta rossa

Il gioco è equo?


 Nella seguente situazione di gioco effettuato con un mazzo di 40 carte si estrae una carte:

  • se è una figura vinci 0,70 €
  • se non è una figura ma è una carta di bastoni o spade vinci 0,50 €
  • se è il settebello perdi 16 €.

Rispondi

  1. Qual è la speranza matematica del gioco?
  2. Dopo molte giocate chi ne trae vantaggio?
  3. Come devono cambiare le regole affinché il gioco divenga equo?

Partecipi ad un gioco che ha due varianti: in entrambe lanci due dadi, ma nella prima vinci se i due dadi mostrano la stessa faccia, mentre nella seconda se la somma delle due facce è pari a 7.

A quale delle due varianti del gioco preferisci partecipare?

  1. Alla prima
  2. Alla seconda
  3. Ritieni che siano equivalenti
  4. Gli esiti delle due varianti del gioco non sono confrontabili

 Supponiamo di lanciare un dado a 6 facce e di puntare sul 6.

  1. Se ripetiamo il lancio 6000 volte quante volte uscirà la faccia numero 6?
  2. Scommettendo 1€ per 600 giocate, con una vincita di 3€, quale sarà il bilancio finale?
  1. Qual è la speranza matematica del gioco?

Un gioco d’azzardo ha le seguenti regole:

  • Una persona punta 10 € su un solo numero da 1 a 6 e lancia tre dadi.
  • Se il numero puntato esce una volta la persona ritira la propria posta e vince 10 €, se esce due volte ritira la propria posta e vince 20 €, se esce tre volte ritira la propria posta e vince 30 € (ovviamente, se il numero puntato non esce perde la posta di 10 €).
  • Può ripetere le puntate quante volte vuole.

Stabilire se:

  1. Il gioco è equo
  2. Il gioco è favorevole a chi tiene il banco
  3. Il gioco è favorevole al giocatore
  4. Non possiamo stabilire nessuna delle precedenti risposte se non sappiamo il numero delle puntate effettuate


Ancora

  1. Roulette
  2. Lotto

E.S. 2019 Simulazione 3 – 5

Emma fa questo gioco: lancia un dado con facce numerate da 1 a 6; se esce il numero 3 guadagna 3 punti, altrimenti perde 1 punto.
Il punteggio iniziale è 0.

  1. Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?
  2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?

1. Qual è la probabilità che, dopo 4 lanci, il suo punteggio sia ancora 0?


  • Calcolo del punteggio al variare del numero di volte che esce 3
    • n=0, punteggio=-4
    • n=1, punteggio=0
    • n=2, punteggio=4
    • n=3, punteggio=8
    • n=4, punteggio=12
    • Il punteggio rimane 0 dopo 4 lanci se il 3 esce 1 volta
  • p(punteggio = 0) = p(n = 1) = …
    • p(dado = 3) = 1/6
    • p(dado = x) = 5/6, x <> 3
    • p(dado = 3xxx) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = x3xx) = \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = xx3x) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}
    • p(dado = xxx3) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
    • p(n = 1) = \frac{4\cdot 5^3}{6^4} = \frac{5^3}{2^2\cdot 3^4} = \frac{125}{324} ∼ 0.3858 = 38,58 %

2. Qual è la probabilità che, in una sequenza di 6 lanci, il punteggio non scenda mai sotto lo 0?


Con controllo alla fine dei 6 lanci

  • Calcolo del punteggio al variare del numero di volte che esce 3
    • n=0, punteggio=-6
    • n=1, punteggio= -2
    • n=2, punteggio=2
    • n=3, punteggio=6
    • n=4, punteggio=10
    • n=5, punteggio=14
    • n=6, punteggio=18
    • Il punteggio non scende sotto lo 0 se il 3 esce almeno 2 volte
  • p(punteggio ≥ 0) = p(n ≥ 2) = 1 – p(n < 2) = 1 – p(n = 0) – p(n = 1) = …
    • p(n = 0) = p(dado = xxxxxx) = \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6} = \frac{5^6}{6^6}
    • p(n = 1) =…
      • p(dado = 3xxxxx) = … = \frac{5^5}{6^6}
      • p(dado = x3xxxx) = …
      • p(dado = xx3xxx) = …
      • p(dado = xxx3xx) = …
      • p(dado = xxxx3x) = …
      • p(dado = xxxxx3) = …
    • p(punteggio ≥ 0) = 1- \frac{5^6}{6^6}-\frac{6\cdot 5^5}{6^6} = 1-\frac{11\cdot5^5}{6^6} = … ∼ 0,2632 = 26,32 %

Con controllo durante i 6 lanci

Sia * qualsiasi uscita da 1 a 6

Considera i casi con punteggio positivo o nullo (in verde)

  • p(dado = 33****) = \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3×3***) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3xx3**) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}
  • p(dado = 3xxx3*) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{1}{6}

p(punteggio ≥ 0) = \frac{1}{6^2}\frac{5}{6^3} + \frac{5^2}{6^4}\frac{5^3}{6^5} ~ 0,08629 ~ 8,63 %


Oppure, considera i casi con punteggio negativo (in rosso)

  • Se al primo lancio esce un numero diverso da 3 il punteggio è già negativo!
    • p(dado = x*****) = \frac{5}{6}
  • Se al primo lancio esce 3 e poi escono 4 numeri diversi da 3 il punteggio diventa negativo al 5° lancio
    • p(dado = 3xxxx*) = \frac{1}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}\cdot \frac{5}{6}
  • In nessun altro caso il punteggio sarà negativo

p(punteggio ≥ 0) = 1 – \frac{5}{6}\frac{5^4}{6^5} ~ 0,08629 ~ 8,63 %




Calcola la probabilità di ogni punteggio dopo 4 lanci

numero
di 3
punti uscite quante
sono
probabilità probabilità
(distribuzione binomiale)
0 -4 xxxx 5^4 \frac{5^4}{6^4} {4 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^4
1 0 3xxx – x3xx – xx3x – xxx3 4\cdot 5^3 \frac{4\cdot 5^3}{6^4} {4 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^3
2 4 33xx – 3x3x – 3xx3 – x33x – x3x3 – xx33 6\cdot 5^2 \frac{6\cdot 5^2}{6^4} {4 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^2
3 8 333x – 33×3 – 3×33 – x333 4\cdot 5 \frac{4\cdot5}{6^4} {4 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^1
4 12 3333 1 \frac{1}{6^4} {4 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^0

Calcola la probabilità di ogni punteggio dopo 6 lanci

numero
di 3
punti uscite quante
sono
probabilità probabilità
(distribuzione binomiale)
0 -6 xxxxxx 5^6 \frac{5^6}{6^6} {6 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^6
1 -2 3xxxxx – x3xxxx – xx3xxx – xxx3xx – xxxx3x – xxxxx3 6\cdot 5^5 \frac{6\cdot 5^5}{6^6} {6 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^5
2 2 33xxxx – 3x3xxx – 3xx3xx – 3xxx3x – 3xxxx3 – x33xxx
x3x3xx – x3xx3x  – x3xxx3 – xx33xx – xx3x3x – xx3xx3
xxx33x – xxx3x3 – xxxx33
15\cdot 5^4 \frac{15\cdot 5^4}{6^6} {6 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^4
3 6 333xxx – 33x3xx – 33xx3x – 33xxx3 – 3x33xx – 3x3x3x
3x3xx3 – 3xx33x – 3xx3x3 – 3xxx33 – x333xx – x33x3x
x33xx3 – x3x33x – x3x3x3 – x3xx33 – xx333x – xx33x3
xx3x33 – xxx333
20\cdot 5^3 \frac{20\cdot 5^3}{6^6} {6 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^3
4 10 3333xx – 333x3x – 333xx3 – 33x33x – 33x3x3 – 33xx33
3x333x – 3x33x3 – 3x3x33 – 3xx333 – x3333x – x333x3
x33x33 – x3x333 – xx3333
15\cdot 5^2 \frac{15\cdot 5^2}{6^6} {6 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^2
5 14 33333x – 3333×3 – 333×33 – 33×333 – 3×3333 – x33333 6\cdot 5 \frac{6\cdot 5}{6^6} {6 \choose 5}\left(\frac{1}{6}\right)^5\left(\frac{5}{6}\right)^1
6 18 333333 1 \frac{1}{6^6} {6 \choose 6}\left(\frac{1}{6}\right)^6\left(\frac{5}{6}\right)^0

Calcola la probabilità delle uscite significative con 6 lanci

uscite quante
sono
probabilità
33**** 6^4 \frac{6^4}{6^6} \frac{1}{6^2}
3×3*** 5\cdot6^3 \frac{5\cdot 6^3}{6^6} \frac{5}{6^3}
3xx3** 5^2\cdot6^2 \frac{5^2\cdot 6^2}{6^6} \frac{5^2}{6^4}
3xxx3* 5^3\cdot6 \frac{5^3\cdot 6}{6^6} \frac{5^3}{6^5}
3xxxx* 5^4\cdot6 \frac{5^4\cdot 6}{6^6} \frac{5^4}{6^5}
x***** 5\cdot6^5 \frac{5\cdot6^5}{6^6} \frac{5}{6}


Codifica: Python

E.S. 2019 Simulazione 2 – 3

Una scatola contiene 16 palline numerate da 1 a 16.

  1. Se ne estraggono 3, una alla volta, rimettendo ogni volta nella scatola la pallina estratta.
    Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 10 e gli altri due minori di 10?
  2. Se ne estraggono 5 contemporaneamente.
    Qual è la probabilità che il più grande dei numeri estratti sia uguale a 13?

1° quesito

  • p(1° e. = 10) = \frac{1} {16}
  • p(2° e. < 10) = \frac{9} {16}
  • p(3° e. < 10) = \frac{9} {16}
  • p(…) = \frac{1} {16}·\frac{9} {16}·\frac{9} {16} = \frac{81} {4096} = 0,019775… ~ 2 %

2° quesito

  • Probabilità di estrarre 5 numeri di cui 4 minori di 13 e uno il valore 13:
    • p(a-b-c-d-13) = \frac{12}{16}\cdot \frac{11}{15}\cdot \frac{10}{14}\cdot \frac{9}{13}\cdot \frac{1}{12}
    • p(a-b-c-13-d) = \frac{12}{16}\cdot \frac{11}{15}\cdot \frac{10}{14}\cdot \frac{1}{13}\cdot \frac{9}{12}
    • p(a-b-13-c-d) = \frac{12}{16}\cdot \frac{11}{15}\cdot \frac{1}{14}\cdot \frac{10}{13}\cdot \frac{9}{12}
    • p(a-13-b-c-d) = \frac{12}{16}\cdot \frac{1}{15}\cdot \frac{11}{14}\cdot \frac{10}{13}\cdot \frac{9}{12}
    • p(13-a-b-c-d) = \frac{1}{16}\cdot \frac{12}{15}\cdot \frac{11}{14}\cdot \frac{10}{13}\cdot \frac{9}{12}
  • p = 5\cdot\frac{9\cdot 10 \cdot 11 \cdot 12}{12\cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot 16} = \frac{3\cdot 5 \cdot 11}{7 \cdot 13 \cdot 16} = 0,1133… ~ 11,33 %

oppure

  • Numero di quintuple ordinate con 4 numeri minori di 13 seguiti dal 13 (a-b-c-d-13): {12 \choose 4}
  • Numero di quintuple ordinate con i numeri da 1 a 16 (a-b-c-d-e): {16 \choose 5}
  • p = \frac{{12 \choose 4}} {{16 \choose 5}}\frac{\frac{12!}{4!8!}}{\frac{16!}{5!11!}} = \frac{3\cdot 5 \cdot 11}{7 \cdot 13 \cdot 16} = …


Codifica: Python

OIS 2017 – Classe V Finale – 12

Livia per andare a scuola usa l’autobus e può utilizzare la linea 1 o la linea 2.
Quando arriva alla fermata sotto casa, la probabilità che il primo autobus che passi sia della linea 1 è 0,6.
La probabilità di trovare posto a sedere sulla linea 1 è 0,2, mentre sulla linea 2 è 0,5.
Questa mattina Livia ha preso il primo autobus che è passato ed è riuscita a sedersi.
Qual è la probabilità che sia arrivata con la linea 1?


Osserva

  • p(“linea 1”) = 0,6 = \frac{6}{10}
  • p(“linea 2”) = 1-p(“linea 1”) = 0,4 = \frac{4}{10}
  • p(“seduta” | “linea 1”) = 0,2 = \frac{2}{10}
  • p(“seduta” | “linea 2”) = 0,5 = \frac{5}{10}
  • p(“seduta”)
    = p(“linea 1”)·p(“seduta” | “linea 1”)+p(“linea 2”)·p(“seduta” | “linea 2”)
    = \frac{6}{10}·\frac{2}{10}+\frac{4}{10}·\frac{5}{10} = \frac{12}{100}+\frac{20}{100} = \frac{32}{100}
  • p(“linea 1” | “seduta”)
    = p(“linea 1” e “seduta”) / p(“seduta”)
    = p(“linea 1”)·p(“seduta” | “linea 1”) / p(“seduta”)
    = \frac{\frac{6}{10}\cdot \frac{2}{10}}{\frac{32}{100}} = \frac{3}{8}

E.S. 1998 – P3 – PNI

Una macchina produce barre di acciaio a sezione circolare la cui lunghezza ottimale dovrebbe essere di 5 metri ed il diametro della sezione di 4 centimetri.
Le barre effettivamente prodotte, che si suppongono tra loro indipendenti, hanno una lunghezza aleatoria con distribuzione normale di media m1 = 5 m e scarto standard σ1=4 cm.
Il diametro della sezione è una variabile aleatoria, indipendente dalla precedente, e con distribuzione normale di media m2 = 4 cm e scarto standard σ2=0, 8 cm.
Una generica barra prodotta può essere direttamente venduta senza modifiche se la sua lunghezza è compresa tra 4,95 m e 5,05 m e la sua sezione tra 2,8 cm e 5,2 cm.

La tavola della funzione di ripartizione della normale standardizzata è data.

Il candidato:

  1. verifichi che la probabilità p di poter mettere in vendita senza modifiche una generica barra prodotta è 0,68;
  2. indicata con fn la frequenza relativa delle barre direttamente vendibili su n barre prodotte, esprima, in funzione di p, la numerosità n necessaria perché la probabilità che fn disti da p più di 0,05 sia non superiore a 0,05;
  3. dato il valore di p rilevato in 1) se su 2000 barre prodotte 1000 risultano non direttamente vendibili, dica se si può sospettare che la macchina non funzioni secondo lo standard riportato sopra, se, cioè, il risultato ottenuto risulta a priori poco probabile (probabilità inferiore a 0,05) subordinatamente alle modalità di funzionamento della macchina, come indicato;
  4. descriva una procedura che consenta di calcolare la probabilità di ottenere la prima barra direttamente vendibile solo all’n-esima prova, al variare di p e di n, e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.

1. Verifichi che la probabilità p di poter mettere in vendita senza modifiche una generica barra prodotta è 0,68

  • p(“lunghezza standard”) = p(4,95 < l < 5,05) = p(-1,25 < z < +1,25)
    = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-1,25}^{+1,25} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz = 2·0,3944 = 0,7888

    • la=4,95 m, za=(4,95-5)/0,04=-1,25
    • lb=5,05 m, zb=(5,05-5)/0,04=+1,25
  • p(“sezione standard”) = p(2,8 < s < 5,2) = p(-1,5 < z < +1,5)
    = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-1,5}^{+1,5} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz = 2·0,4332 = 0,8664

    • sa=2,8, za=(2,8-4)/0,8=-1,5
    • sb=5,2, za=(5,2-4)/0,8=+1,5
  • p(“vendibile”) = p(“lunghezza standard” e “sezione standard”)
    = p(“lunghezza standard”)·p(“sezione standard”)
    = 0,7888·0,8664
    = 0,6834

2. Probabilità che fn disti da p più di 0,05 sia non superiore a 0,05…

  • fn = frequenza relativa delle barre direttamente vendibili su n barre prodotte
  • X = v/n = numero di barre vendibili su n barre prodotto
  • m(X) = m/n = p
  • var(X) = m/n² = p(p-1)/n
  • Teorema di Cebysev
    • p(|X-m|\ >\ \epsilon) \ \leq \ \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
    • p(m-\epsilon \leq X \leq m+\epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
  • p(|v/n-p| > 0,05) ≤ p(p-1)/(n·0,05²) ≤ 0,05
  • n ≥ 1730,9…
  • n ≥ 1731
  • p(m-\epsilon \leq X \leq m+\epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}

3. Su 2000 barre prodotte 1000 risultano non direttamente vendibili…

  • n = 2000 ≥ 1731
  • |v/n-p| = |0,5-06834| = 0,1834 > 0,05
  • La probabilità che avvenga è inferiore a 0,05

4. La probabilità di ottenere la prima barra direttamente vendibile solo all’n-esima prova…

  • p(1°…(n-1)° non vendibili e n° vendibile) =  p(1-p)n-1

Distribuzione normale

X, variabile casuale con distribuzione gaussiana, normale

  • Funzione densità di probabilità: f(x) = k\ e^{-h(x-\mu)^2}
  • Media = μ
  • Curva a campana, un unico picco, simmetrica
  • Moda = media
  • k influenza l’altezza della curva
  • h influenza lo sviluppo orizzontale della curva

Distribuzione gaussiana normalizzata

  • k = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}
  • h = \frac{1}{2\sigma^2}
  • Funzione densità di probabilità: f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
  • Funzione di distribuzione:  F(X) = \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^x \ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ dx
  • \displaystyle \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^{+\infty} \ e^{\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \ dx \ = \ 1
  • Media = μ
  • Varianza = σ²
  • p(μ ≤ X ≤ μ) = 68,3%
  • p(μ-2σ ≤ X ≤ μ+2σ) = 95,5%
  • p(μ-3σ ≤ X ≤ μ+3σ) = 99,7%

X, variabile casuale con distribuzione normale standardizzata

  • μ=0
  • σ=1
  • Funzione di distribuzione:  F(X) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-\infty}^z \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz

Data una distribuzione normale con valore medio μ e deviazione standard σ

  • Punteggio z di x, distanza di x dal centro della distribuzione misurata in numero di deviazioni standard
  • z = \frac{x-\mu}{\sigma}
  • x > μ ⇒ z > 0
  • x < μ ⇒ z < 0
  • p(a < X < b) = p(za < z < zb) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{z_a}^{z_b} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz

Variabili casuali continue

X, variabile casuale continua

  • Funzione di distribuzione, F(X), continua nell’intervallo [A, B] di definizione
  • F(X=xi) = p(x ≤ xi), la probabilità di estrarre un elemento x minore di xi dalla popolazione
  • F(X=xi) = p(x ≤ xi) = \displaystyle \int_A^{x_i}\ f(x) \ dx
  • f(x) = F'(X), funzione densità di probabilità
  • p(x = x0) = 0, la probabilità di estrarre un particolare valore x0 è nulla
  • p(a ≤ x ≤ b) = F(b)-F(a) = \displaystyle \int_a^{b}\ f(x) \ dx
  • \displaystyle \int_A^{B}\ f(x) \ dx\ = \ 1

E.S. 1997 Suppletiva – 3 – PNI

La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni di un campione di nuclidi se il campione è sufficientemente numeroso.
Un campione radioattivo contengo 2·1010 nuclidi ciascuno dei quali ha una probabilità p=10-10 di decadere in un secondo.
Calcolare

  1. il numero medio atteso di decadimenti al secondo;
  2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo;
  3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo.

Distribuzione di Poisson

  • p(X=x) = f(x) = e^{-\lambda}\ \frac{\lambda^k}{k!}

1. Il numero medio atteso di decadimenti al secondo

  • n = 2·1010
  • p = 10-10
  • λ = np = 2·1010·10-10 = 2

2. Le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo

  • p(X=x) = f(x) = e^{-2}\ \frac{2^k}{k!}
  • p(X=0) = e-2
  • p(X=1) = 2·e-2
  • p(X=2) = 2·e-2
  • p(X=3) = 4/3·e-2
  • p(X=4) = 2/3·e-2

3. La probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo

  • p(X ≤ 4) = p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4) = 7·e-2
  • p(X > 4) = 1-p(X ≤ 4) = 1-7·e-2 = 0,05265…

Distribuzione esponenziale

X variabile casuale con distribuzione esponenziale se

Funzione di densità di probabilità

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, con λ > 0

Inoltre

  • Funzione di distribuzione: F(x)1-e^{-\lambda x}
  • Media: M(X) = \frac{1}{\lambda}
  • Varianza: σ²\frac{1}{\lambda^2}