Category Archives: SECONDA PROVA

E.S. 2003


P2 PNI


… si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti …


1 PNI


Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?


2 PNI


Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.
Qual è la probabilità che essa sia difettosa?


4 PNI


Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.


5


La funzione 2x^3-3x^2+2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse.
Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.


6 PNI


Si vuole che l’equazione x^3+bx-7=0 abbia 3 radici reali.
Qual è un possibile valore di b?


7 PNI


Verificare l’uguaglianza \displaystyle \pi=4\int_{0}^1\, \frac{1}{1+x^2}\,dx e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di pi greco, applicando un metodo di integrazione numerica.


9


Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto.
Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.


10 PNI


Verificare che l’equazione x^3-3x+1=0 ammette tre radici reali.
Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

E.S. 1990…


1997


3 PNI Suppletiva

La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni di un campione di nuclidi se il campione è sufficientemente numeroso.
Un campione radioattivo contengo 2·1010 nuclidi ciascuno dei quali ha una probabilità p=10-10 di decadere in un secondo.
Calcolare

  1. il numero medio atteso di decadimenti al secondo;
  2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo;
  3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo.

1993


3 PNI

Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza.
I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente.
A e B hanno probabilità p (0<p<1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta.

  1. Si calcoli la probabilità che l’imputato sia assolto.
  1. Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D che ha una probabilità di decidere per l’assoluzione p’≠p (0<p'<1), si verifichi che la probabilità di assoluzione per l’imputato è maggiore che nel caso precedente se e solo se p’ > 1/2.

3 PNI Suppletiva

Una macchina produce pezzi meccanici.
Ogni pezzo prodotto ha una probabilità 0 < p < 1 di essere funzionante e probabilità q=1-p di essere difettoso.

  1. Presi a caso k pezzi prodotti si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
    • E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
    • E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
    • E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
  2. Per ogni k si determini p in modo tale che p(E1)=p(E2).
  3. Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
  4. Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

1992


Si desidera fondere due sequenze A e B di numeri interi, non ordinate e con eventuali valori ripetuti, in un’unica sequenza C nella quale compaiono, in ordine crescente e senza ripetizioni, i valori presenti in A e in B.
Il candidato formulate le ipotesi aggiuntive che ritiene necessarie, proponga ed illustri una procedura per risolvere il problema e la codifichi in un linguaggio di sua conoscenza.

Codifica:Linguaggio C


1990


Si scriva un programma che produca i numeri primi inferiori a 100.000.
Si calcoli quanti sono i numeri primi che cadono in ciascuno dei seguenti intervalli

  • 1 – 1.000
  • 1.001 – 2.000
  • 2.001 – 3.000
  • 99.001 – 100.000.

Codifica: C++Python

E.S. 2004


P1 PNI



P2 PNI



4


Dimostrate che l’equazione e^x+3x=0 ammette una e una sola soluzione reale.


4 PNI


Dati gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c} quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?


9 PNI


Si dimostri che l’equazione e^x+3x=0 ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.


10


Considerate gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

E.S. 2005


P2 – P2 PNI



6


Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?


7


Se f(x)=x^4-4x^3+4x^2+3, per quanti numeri reali k è f(k)=2?
Si illustri il ragionamento seguito.


7 PNI


Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?


9 PNI


Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando 2 dadi?
Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci?
E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?


10 PNI


Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più.
Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni?
Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.

E.S. 2006


4 PNI


Si dimostri che l’equazione \sin x=x-1 ha una e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima.
Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α con la precisione voluta.


5 – 5 PNI


Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a+b)^n è uguale a 2^n per ogni n \in \mathbb{N}.


7 PNI


Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici del secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda «che cos’è la probabilità?» era solito rispondere: «la probabilità non esiste!».
Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla a una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?


8 PNI


Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.
Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?


10 PNI


Tenuto conto che \displaystyle \frac{\pi}{4}=\int_{0}^1\, \frac{dx}{1+x^2} calcola un’approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

E.S. 2007


5 Suppletiva


Si dimostri che l’equazione e^x-x^3=0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.
Si dimostri che l’equazione e^x+x^3=0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.


6


Si sa che il prezzo p di un abito ha subito una maggioranza del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni.
Che cosa si può dire del prezzo finale?


6 PNI


Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha una lunghezza 3.
Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.


6 Suppletiva


Si scelga a caso un punto P all’interno di un cerchio.
Si determini la probabilità che esso sia più vicino al centro che alla circonferenza del cerchio.


8


Si risolva l’equazione: 4{n \choose 4} =15{n-2 \choose 3}.


8 PNI


A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre centenario della nascita, si deve il seguente problema: “Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro.
Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono.
Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima.
A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro si sedette a giocare.”


10 Suppletiva


Si risolva la disequazione {x \choose 3}\ > \ \frac{15}{2}\ {x \choose 2}.


10 PNI Suppletiva


Si risolva la disequazione 5{x \choose 3}\le{x+2 \choose 3}.

E.S. 2002


P1 PNI



P2 PNI



1 PNI


Se a e b sono numeri positivi assegnati qual è la loro media aritmetica?
Qual è la media geometrica?
Quale delle due è più grande? E perché?
Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?


2 PNI


Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610-1685), amico di Blaise Pascal: “Giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?!”


3 PNI


Assumendo che i risultati X, 1, 2 delle 13 partite di Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.


4


Si consideri…


7


Data la funzione f(x)=e^x-\sin x -3x calcolarne i limiti per x che tende a +∞ e -∞ e provare che esiste un numero reale α con 0 < α < 1 in cui la funzione si annulla.

E.S. 2001


P2 PNI


c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione della intersezione positiva di Γ con l’asse x.


2 PNI


Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione xe^x+xe^{-x}-2=0.


6


Dimostrare che si ha {n \choose k} ={n-1 \choose k} +{n-1 \choose k-1} dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0.


6 PNI


Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un’approssimazione dell’integrale definito \displaystyle \int_{0}^\pi\, \sin{x}\,dx e si confronti il risultato con il valore esatto dell’integrale.


7 PNI


Verificato che l’equazione x-e^{-x}=0 ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1 se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.


8 PNI


Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze.
Tra i 16 allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?

E.S. 2008

P1 PNI



P2 PNI



1 PNI


Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta.
Si scelga a caso un punto all’interno del cono.
Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.


4 Suppletiva


Si determini la probabilità che, lanciando 8 volte una moneta non truccata, si ottenga 4 volte testa.

5 Suppletiva


Si dimostri che l’equazione (3-x)e^x-3=0 per x > 0 ha un’unica radice reale e se ne calcoli un valore approssimato con due cifre decimali esatte.


5 Europa


Si dimostri che l’equazione x^7+5x+5=0 ha una sola radice reale.


6


Se {n \choose 1}, {n \choose 2}, {n \choose 3}, con n>3, sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?


9 PNI


In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti.
Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse.


10 Suppletiva


Tenuto conto che  \displaystyle \frac{\pi}{6}=\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} si calcoli un’approssimazione di π, utilizzando uno dei metodi d’integrazione numerica studiati.

E.S. 2009


P2 PNI



3 PNI


Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?


6 PNI


Con l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione \sin x = 0, con punto iniziale x_0=3.
Cosa si ottiene dopo due iterazioni?


7 – 7 PNI


Si dimostri l’identità {n \choose k+1} ={n \choose k}\frac{n-k}{k+1} dove n e k naturali e n > k.


8


Si provi che l’equazione x^{2009}+2009x+1=0 ha una radice compresa fra -1 e 0.


8 PNI


Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni.
Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?