Disposizioni

La scrittura D_{n,k} significa

  • dati n oggetti tutti diversi (A, B, C, …)
  • in quanti modi diversi si possono elencare k oggetti?

oppure

  • Numero di disposizioni semplici di n oggetti presi k alla volta?
  • Numero di funzioni iniettive da un insieme di cardinalità k in uno di cardinalità n?

Prova…

k=1 k=2 k=3 k=4
{A} A
{A,B} A
B
AB
BA
{A,B,C} A
B
C
AB AC
BA BC
CA CB
ABC ACB
BAC BCA
CAB CBA
{A,B,C,D} A
B
C
D
AB AC AD
BA BC BD
CA CB CD
DA DB DC
ABC ABD ACB ACD ADB ADC
BAC BAD BCA BCD BDA BDC
CAB CAD CBA CBD CDA CDB
DAB DAC DBA DBC DCA DCB
ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB
BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA
CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA
DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA

Osserva

  • La 1° scelta può essere una tra n
  • La 2° scelta può essere una tra n-1 (1 è stata già utilizzata)
  • La 3° scelta può essere una tra n-2 (2 sono state già utilizzate)
  • La k-esima può essere una tra n-(k-1) (k-1 sono state già utilizzate)

Quindi

D_{n,k} = n(n-1)(n-2)\ \dots \ (n-k+1)

oppure

D_{n,k}\frac{n!}{(n-k)!}

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