Esame di Stato 1993 Suppletiva PNI – 3

Una macchina produce pezzi meccanici.
Ogni pezzo prodotto ha una probabilità 0 < p < 1 di essere funzionante e probabilità q=1-p di essere difettoso.

  1. Presi a caso k pezzi prodotti si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
    • E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
    • E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
    • E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
  2. Per ogni k si determini p in modo tale che p(E1)=p(E2).
  3. Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
  4. Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

1|E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”

  • E1: 1° funziona e 2° funziona e … e k° funziona
  • p(E1) = p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona)
    = p(1° funziona)·p(2° funziona)·…·p(k° funziona)
    = p·p·…·p = pk

1|E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”

  • E2: (1° difetta e 2° funziona e … e k° funziona) oppure  (1° funziona e 2° difetta e … e k° funziona) oppure … oppure (1° funziona e 2° funziona e … e k° difetta)
  • p(E2) = p[(1° difetta ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona) ∪ (1° funziona ∩ 2° difetta ∩ … ∩ k° funziona) ∪ … ∪ (1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° difetta)]
    = p(1° difetta ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona) + p(1° funziona ∩ 2° difetta ∩ … ∩ k° funziona) + … + p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° difetta)
    = (1-p)·pk-1+(1-p)·pk-1+ … +(1-p)·pk-1 = k·(1-p)·pk-1

1|E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”

  • E3=no(E1)
  • p(E3) = 1-p(E1) = 1- pk

2: p(E1)=p(E2)

pk = k·(1-p)·pk-1

p = \frac{k}{1+k}


3: Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.

  • E4: 1° funziona e 2° funziona e … e 10° difetta
  • p(E4) = p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ 10° difetta)
    = p(1° funziona)·p(2° funziona)·…·p(10° difetta)
    = p9·(1-p) = … = 0,0323

4: Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.

  • E5: nessun pezzo difettoso oppure un solo pezzo difettoso = E1 oppure E2
  • p(E5) = p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2)
    = pk + k·(1-p)·pk-1 = … = 0,736…