Una macchina produce pezzi meccanici.
Ogni pezzo prodotto ha una probabilità 0 < p < 1 di essere funzionante e probabilità q=1-p di essere difettoso.
- Presi a caso k pezzi prodotti si esprima la probabilità dei seguenti eventi:
- E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
- E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
- E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
- Per ogni k si determini p in modo tale che p(E1)=p(E2).
- Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
- Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.
1|E1: “tutti i k pezzi sono funzionanti”
- E1: 1° funziona e 2° funziona e … e k° funziona
- p(E1) = p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona)
= p(1° funziona)·p(2° funziona)·…·p(k° funziona)
= p·p·…·p = pk
1|E2: “uno solo dei k pezzi è difettoso”
- E2: (1° difetta e 2° funziona e … e k° funziona) oppure (1° funziona e 2° difetta e … e k° funziona) oppure … oppure (1° funziona e 2° funziona e … e k° difetta)
- p(E2) = p[(1° difetta ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona) ∪ (1° funziona ∩ 2° difetta ∩ … ∩ k° funziona) ∪ … ∪ (1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° difetta)]
= p(1° difetta ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° funziona) + p(1° funziona ∩ 2° difetta ∩ … ∩ k° funziona) + … + p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ k° difetta)
= (1-p)·pk-1+(1-p)·pk-1+ … +(1-p)·pk-1 = k·(1-p)·pk-1
1|E3: “almeno uno dei k pezzi è difettoso”
- E3=no(E1)
- p(E3) = 1-p(E1) = 1- pk
2: p(E1)=p(E2)
pk = k·(1-p)·pk-1
…
p =
3: Per p=5/6 si calcoli la probabilità dell’evento E4: “il primo pezzo difettoso è il decimo prodotto dal momento in cui la macchina entra in funzione”.
- E4: 1° funziona e 2° funziona e … e 10° difetta
- p(E4) = p(1° funziona ∩ 2° funziona ∩ … ∩ 10° difetta)
= p(1° funziona)·p(2° funziona)·…·p(10° difetta)
= p9·(1-p) = … = 0,0323…
4: Per p=9/10 si calcoli la probabilità dell’evento E5: “si ha al massimo un pezzo difettoso nei primi dieci prodotti”.
- E5: nessun pezzo difettoso oppure un solo pezzo difettoso = E1 oppure E2
- p(E5) = p(E1 ∪ E2) = p(E1) + p(E2)
= pk + k·(1-p)·pk-1 = … = 0,736…