E.S. 1998 – P3 – PNI

Una macchina produce barre di acciaio a sezione circolare la cui lunghezza ottimale dovrebbe essere di 5 metri ed il diametro della sezione di 4 centimetri.
Le barre effettivamente prodotte, che si suppongono tra loro indipendenti, hanno una lunghezza aleatoria con distribuzione normale di media m1 = 5 m e scarto standard σ1=4 cm.
Il diametro della sezione è una variabile aleatoria, indipendente dalla precedente, e con distribuzione normale di media m2 = 4 cm e scarto standard σ2=0, 8 cm.
Una generica barra prodotta può essere direttamente venduta senza modifiche se la sua lunghezza è compresa tra 4,95 m e 5,05 m e la sua sezione tra 2,8 cm e 5,2 cm.

La tavola della funzione di ripartizione della normale standardizzata è data.

Il candidato:

  1. verifichi che la probabilità p di poter mettere in vendita senza modifiche una generica barra prodotta è 0,68;
  2. indicata con fn la frequenza relativa delle barre direttamente vendibili su n barre prodotte, esprima, in funzione di p, la numerosità n necessaria perché la probabilità che fn disti da p più di 0,05 sia non superiore a 0,05;
  3. dato il valore di p rilevato in 1) se su 2000 barre prodotte 1000 risultano non direttamente vendibili, dica se si può sospettare che la macchina non funzioni secondo lo standard riportato sopra, se, cioè, il risultato ottenuto risulta a priori poco probabile (probabilità inferiore a 0,05) subordinatamente alle modalità di funzionamento della macchina, come indicato;
  4. descriva una procedura che consenta di calcolare la probabilità di ottenere la prima barra direttamente vendibile solo all’n-esima prova, al variare di p e di n, e la codifichi in un linguaggio di programmazione conosciuto.

1. Verifichi che la probabilità p di poter mettere in vendita senza modifiche una generica barra prodotta è 0,68

  • p(“lunghezza standard”) = p(4,95 < l < 5,05) = p(-1,25 < z < +1,25)
    = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-1,25}^{+1,25} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz = 2·0,3944 = 0,7888

    • la=4,95 m, za=(4,95-5)/0,04=-1,25
    • lb=5,05 m, zb=(5,05-5)/0,04=+1,25
  • p(“sezione standard”) = p(2,8 < s < 5,2) = p(-1,5 < z < +1,5)
    = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ \int_{-1,5}^{+1,5} \ e^{\frac{-z^2}{2}} \ dz = 2·0,4332 = 0,8664

    • sa=2,8, za=(2,8-4)/0,8=-1,5
    • sb=5,2, za=(5,2-4)/0,8=+1,5
  • p(“vendibile”) = p(“lunghezza standard” e “sezione standard”)
    = p(“lunghezza standard”)·p(“sezione standard”)
    = 0,7888·0,8664
    = 0,6834

2. Probabilità che fn disti da p più di 0,05 sia non superiore a 0,05…

  • fn = frequenza relativa delle barre direttamente vendibili su n barre prodotte
  • X = v/n = numero di barre vendibili su n barre prodotto
  • m(X) = m/n = p
  • var(X) = m/n² = p(p-1)/n
  • Teorema di Cebysev
    • p(|X-m|\ >\ \epsilon) \ \leq \ \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
    • p(m-\epsilon \leq X \leq m+\epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}
  • p(|v/n-p| > 0,05) ≤ p(p-1)/(n·0,05²) ≤ 0,05
  • n ≥ 1730,9…
  • n ≥ 1731
  • p(m-\epsilon \leq X \leq m+\epsilon) \ \geq \ 1-\frac{\sigma^2}{\epsilon^2}

3. Su 2000 barre prodotte 1000 risultano non direttamente vendibili…

  • n = 2000 ≥ 1731
  • |v/n-p| = |0,5-06834| = 0,1834 > 0,05
  • La probabilità che avvenga è inferiore a 0,05

4. La probabilità di ottenere la prima barra direttamente vendibile solo all’n-esima prova…

  • p(1°…(n-1)° non vendibili e n° vendibile) =  p(1-p)n-1
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