Esame di Stato 2003 PNI – 6

di

Si vuole che l’equazione x^3+bx-7=0 abbia 3 radici reali.
Qual è un possibile valore di b?

Sia

f(x)=x^3+bx-7

Osserva

  • \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
  • \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, almeno uno zero
  • f\prime(x)=3x^2+b
  • f\prime(x)=0
  • 3x^2+b=0
  • x=\pm \sqrt{\frac{-b}{3}},\ b\ \le \ 0

Per b=-3

  • f(x)=x^3-3x-7
  • f\prime(x)=3x^2-3
  • f\prime(x)=0
  • 3x^2-3=0
  • x=\pm1
  • f(-1)=-1+3-7=-5
  • f(+1)=1-3-7=-9, i punti notevoli sono concordi… un solo zero.

Per b=-12

  • f(x)=x^3-12x-7
  • f\prime(x)=3x^2-12
  • f\prime(x)=0
  • 3x^2-12=0
  • x=\pm2
  • f(-2)=-8+24-7=+9
  • f(+2)=8-24-7=-23, i punti notevoli sono discordi… tre zeri.