Esame di Stato 2006 PNI – 8

Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.

Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?

Passo 1

Considera le probabilità degli eventi

EventoProbabilità
Colpire il bersaglio con un tiro\displaystyle \frac{3}{10}
NON colpire il bersaglio con un tiro\displaystyle 1-\frac{3}{10}\displaystyle \frac{7}{10}
NON colpire il bersaglio con n tiri\displaystyle \left(\frac{7}{10}\right)^n
Colpire il bersaglio almeno una volta con n tiri\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^n

Passo 2

Risolvere l’equazione

\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^n \ge 0,99

n \ge 12,9...

n \ge 13

oppure calcolare la probabilità per n=1, 2, 3, … finché p ≥0,99

Numero
tiri
Probabilità
1\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^1= 0,3
2\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^2= 0,51
3\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^3= 0,657
4\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^4= 0,7599
5\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^5~ 0,8319
6\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^6~ 0,8824
7\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^7~ 0,9176
8\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^8~ 0,9424
9\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^9~ 0,9596
10\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^{10}~ 0,9718
11\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^{11}~ 0,9802
12\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^{12}~ 0,9862
13\displaystyle 1-\left(\frac{7}{10}\right)^{13}0,9903