Esame di Stato 2007 PNI – 8

A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi. Si domanda con quanto denaro si sedette a giocare».

Osserva

Valori iniziali x y z
Dopo la 1° partita x-y-z y+y
2y
z+z
2z
Dopo la 2° partita (x-y-z)+(x-y-z)
2x-2y-2z
2y-(x-y-z)-2z
-x+3y-z
2z+2z
4z
Dopo la 3° partita (2x-2y-2z)+(2x-2y-2z)
4x-4y-4z
(-x+3y-z)+(-x+3y-z)
-2x+6y-2z
4z-(2x-2y-2z)-(-x+3y-z)
-x-y+7z

Si ottiene il sistema

\begin{cases} 4x-4y-4z=24 \\ -2x+6y-2z=24 \\ -x-y+7z=24 \end{cases}

con la soluzione

\begin{cases} x=39 \\ y=21 \\ z=12 \end{cases}