Esame di Stato 2011 PNI – 7

di

Un test d’esame consta dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta fra quattro alternative.

Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risultino corrette?

Osserva

  • Tutte errate: p_0=\left(\frac{3}{4}\right)^{10}
  • Una corretta (e 9 errate): p_1={10 \choose 1}\left(\frac{1}{4}\right)^{1}\left(\frac{3}{4}\right)^{9}
  • Almeno 2 corrette (tutti i risultati possibili tranne i due precedenti…):
    p_{\geq 2}=1-p_{0}-p_{1}
    p_{\geq 2}=1-\left(\frac{3}{4}\right)^{10}-{10 \choose 1}\left(\frac{1}{4}\right)^{1}\left(\frac{3}{4}\right)^{9}=0,7559... ~ 75,6%

Osserva le probabilità per numero di risposte corrette

  1. {10 \choose 0}\left(\frac{1}{4}\right)^{0}\left(\frac{3}{4}\right)^{10} = \frac{3^{10}}{4^{10}}
  2. {10 \choose 1}\left(\frac{1}{4}\right)^{1}\left(\frac{3}{4}\right)^{9} = \frac{10\cdot3^{9}}{4^{10}}
  3. {10 \choose 2}\left(\frac{1}{4}\right)^{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{8} = \frac{45\cdot3^8}{4^{10}}
  4. {10 \choose 3}\left(\frac{1}{4}\right)^{3}\left(\frac{3}{4}\right)^{7} = \frac{120\cdot3^7}{4^{10}}
  5. {10 \choose 4}\left(\frac{1}{4}\right)^{4}\left(\frac{3}{4}\right)^{6} = \frac{210\cdot3^6}{4^{10}}
  6. {10 \choose 5}\left(\frac{1}{4}\right)^{5}\left(\frac{3}{4}\right)^{5} = \frac{252\cdot3^5}{4^{10}}
  7. {10 \choose 6}\left(\frac{1}{4}\right)^{6}\left(\frac{3}{4}\right)^{4} = \frac{210\cdot3^4}{4^{10}}
  8. {10 \choose 7}\left(\frac{1}{4}\right)^{7}\left(\frac{3}{4}\right)^{3} = \frac{120\cdot3^3}{4^{10}}
  9. {10 \choose 8}\left(\frac{1}{4}\right)^{8}\left(\frac{3}{4}\right)^{2} = \frac{45\cdot3^2}{4^{10}}
  10. {10 \choose 9}\left(\frac{1}{4}\right)^{9}\left(\frac{3}{4}\right)^{1} = \frac{10\cdot3}{4^{10}}
  11. {10 \choose 10}\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\left(\frac{3}{4}\right)^{0}  = \frac{1}{4^{10}}

Codifica: Python