E.S. 2011 – 7

Si provi che l’equazione x^{2011}+2011x+12=0 ha una sola radice fra -1 e 0.

Sia

f(x)=x^{2011}+2011x+12

Osserva

  • f(x), continua in \R
    • \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
    • \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, quindi esiste almeno uno zero
  • f\prime(x)=2011x^{2010}+2011
    • f\prime(x)=0, x^{2010}+1=0, impossibile
    • f\prime(x)\ >\ 0 sempre, f(x) è crescente e lo zero è unico
  • f(0)=+12
  • f(-1)=-2000, valori discordi

quindi

Esiste x_0\in (-1,\ 0) tale che f(x_0)=0

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