Esame di Stato 2011 – 7

Si provi che l’equazione x^{2011}+2011 x + 12=0 ha una sola radice fra -1 e 0.


Sia f(x)=x^{2011}+2011 x + 12

Esistenza

  • f(x) continua in R
  • f(-1)=-2000
  • f(0)=+12, valori discordi
  • Teorema degli zeri: esiste x_0\in (-1,\ 0) tale che f(x_0)=0

Unicità

  • f'(x)=2011 x^{2010}+2011
  • f'(x)=0
    • \displaystyle 2011x^{2010}+2011 = 0
    • \displaystyle x^{2010} = -1, impossibile
  • f'(x) > 0 in R
  • f(x) crescente in R
  • Lo zero è unico

Conclusione

L’equazione x^{2011}+2011 x + 12=0 ha una sola radice per x tra -1 e 0

Approssimazione?