E.S. 2015 – 3 – PNI

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più” due volte?
Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno” due volte?

INVALSI – ESEMPIO 2 – Domanda 9

Qual è la probabilità di ottenere esattamente 3 volte testa in 6 lanci di una moneta non truccata?


Tutte le sequenze possibili sono 2*2*2*2*2*2 = 2^6 = 64.

Le sequenze di 6 lanci che soddisfano un certo numero di “testa” sono (prova a contarle…)

Numero testa Sequenze Numero Prob.
0 CCCCCC 1 \frac{1}{64}
1 CCCCCT CCCCTC CCCTCC CCTCCC CTCCCC TCCCCC 6 \frac{6}{64}
2 CCCCTT CCCTCT CCCTTC CCTCCT CCTCTC CCTTCC CTCCCT CTCCTC CTCTCC CTTCCC TCCCCT TCCCTC TCCTCC TCTCCC TTCCCC 15 \frac{15}{64}
3 CCCTTT CCTCTT CCTTCT CCTTTC CTCCTT CTCTCT CTCTTC CTTCCT CTTCTC CTTTCC TCCCTT TCCTCT TCCTTC TCTCCT TCTCTC TCTTCC TTCCCT TTCCTC TTCTCC TTTCCC 20 \frac{20}{64}
4 CCTTTT CTCTTT CTTCTT CTTTCT CTTTTC TCCTTT TCTCTT TCTTCT TCTTTC TTCCTT TTCTCT TTCTTC TTTCCT TTTCTC TTTTCC 15 \frac{15}{64}
5 CTTTTT TCTTTT TTCTTT TTTCTT TTTTCT TTTTTC 6 \frac{6}{64}
6 TTTTTT 1 \frac{1}{64}

In alternativa, le sequenze possono essere viste come anagrammi

Numero testa Numero croce
Numero anagrammi Probabilità
0 6 \frac{6!}{0!6!}=1 \frac{1}{64}
1 5 \frac{6!}{1!5!}=6 \frac{6}{64}
2 4 \frac{6!}{2!4!}=15 \frac{15}{64}
3 3 \frac{6!}{3!3!}=20 \frac{20}{64}
4 2 \frac{6!}{4!2!}=15 \frac{15}{64}
5 1 \frac{6!}{5!1!}=6 \frac{6}{64}
6 0 \frac{6!}{6!0!}=1 \frac{1}{64}

In alternatica, distribuzione binomiale

  • p(T=0) = {6 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^6 = \frac{1}{64}
  • p(T=1) = {6 \choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{6}{64}
  • p(T=2) = {6 \choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{15}{64}
  • p(T=3) = {6 \choose 3}\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{20}{64}
  • p(T=4) = {6 \choose 4}\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{15}{64}
  • p(T=5) = {6 \choose 5}\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^1 = \frac{6}{64}
  • p(T=6) = {6 \choose 6}\left(\frac{1}{2}\right)^6\left(\frac{1}{2}\right)^0 = \frac{1}{64}

In definitiva

  • p(T<2)=p(T=0)+p(T=1)=\frac{1}{64}+\frac{6}{64}=\frac{7}{64}
  • p(T\le2)=p(T=0)+p(T=1)+p(T=2)=\frac{1}{64}+\frac{6}{64}+\frac{15}{64}=\frac{22}{64}=0,34375
  • p(T\ge2)=1-p(T<2)=1-\frac{7}{64}=\frac{57}{64}=0,890625
  • p(T = 3)=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}=0,3125
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