Esame di Stato 2016 PNI – 4

Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta.
Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande.

Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?

Osserva

Eventoprobabilità
8 risposte esatte
2 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 8}\left(\frac{1}{4}\right)^8\left(\frac{3}{4}\right)^2= \displaystyle 45\cdot \frac{3^2}{4^{10}}~ 0,000029
9 risposte esatte
1 sbagliata
= \displaystyle {10 \choose 9}\left(\frac{1}{4}\right)^9\left(\frac{3}{4}\right)^1= \displaystyle 10\cdot \frac{3}{4^{10}}~ 0,000029
10 risposte esatte
0 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 10}\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\left(\frac{3}{4}\right)^0= \displaystyle 1\cdot \frac{1}{4^{10}}~ 0,000001
Almeno 8 risposte esatte= p(8) + p(9) + p(10)= \displaystyle \frac{436}{4^{10}}~ 0,0004

Esercizio

Tutte le probabilità

Eventoprobabilità
0 risposte esatte
10 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 0}\left(\frac{1}{4}\right)^0\left(\frac{3}{4}\right)^{10}= \displaystyle 1\cdot \frac{3^{10}}{4^{10}}~ 0,056314
1 risposta esatta
9 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 1}\left(\frac{1}{4}\right)^1\left(\frac{3}{4}\right)^9= \displaystyle 10\cdot \frac{3^9}{4^{10}}~ 0,187712
2 risposte esatte
8 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 2}\left(\frac{1}{4}\right)^2\left(\frac{3}{4}\right)^8= \displaystyle 45\cdot \frac{3^8}{4^{10}}~ 0,281568
3 risposte esatte
7 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 3}\left(\frac{1}{4}\right)^3\left(\frac{3}{4}\right)^7= \displaystyle 120\cdot \frac{3^7}{4^{10}}~ 0,250282
4 risposte esatte
6 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 4}\left(\frac{1}{4}\right)^4\left(\frac{3}{4}\right)^6= \displaystyle 210\cdot \frac{3^6}{4^{10}}~ 0,145998
5 risposte esatte
5 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 5}\left(\frac{1}{4}\right)^5\left(\frac{3}{4}\right)^5= \displaystyle 252\cdot \frac{3^5}{4^{10}}~ 0,058399
6 risposte esatte
4 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 6}\left(\frac{1}{4}\right)^6\left(\frac{3}{4}\right)^4= \displaystyle 210\cdot \frac{3^4}{4^{10}}~ 0,016222
7 risposte esatte
3 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 7}\left(\frac{1}{4}\right)^7\left(\frac{3}{4}\right)^3= \displaystyle 120\cdot \frac{3^3}{4^{10}}~ 0,003090
8 risposte esatte
2 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 8}\left(\frac{1}{4}\right)^8\left(\frac{3}{4}\right)^2= \displaystyle 45\cdot \frac{3^2}{4^{10}}~ 0,000386
9 risposte esatte
1 sbagliata
= \displaystyle {10 \choose 9}\left(\frac{1}{4}\right)^9\left(\frac{3}{4}\right)^1= \displaystyle 10\cdot \frac{3}{4^{10}}~ 0,000029
10 risposte esatte
0 sbagliate
= \displaystyle {10 \choose 10}\left(\frac{1}{4}\right)^{10}\left(\frac{3}{4}\right)^0= \displaystyle 1\cdot \frac{1}{4^{10}}~ 0,000001