Esame di Stato 2014 PNI – 3

di

Venti palline sono poste in un’urna.
Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche.
Dall’urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline.

Si valutino le seguenti probabilità:

  1. esattamente una pallina è rossa;
  2. le tre palline sono di colori differenti.

1. Esattamente una pallina è rossa

  • La prima rossa, la seconda e la terza non rossa
    p() = p()·p(|)·p(|) = \frac{5}{20}\cdot\frac{15}{19}\cdot\frac{14}{18}
  • La prima non rossa, la seconda rossa e la terza non rossa
  • p() = p()·p(|)·p(|) = \frac{15}{20}\cdot\frac{5}{19}\cdot\frac{14}{18}
  • La prima e la seconda non rossa e la terza rossa
    p() = p()·p(|)·p(|) = \frac{15}{20}\cdot\frac{14}{19}\cdot\frac{5}{18}
  • p(“una sola rossa”) = 3\cdot\frac{15}{20}\cdot\frac{14}{19}\cdot\frac{5}{18} = \frac{35}{76} = 46,05…%

2. Le tre palline sono di colori differenti

  • La prima di colore qualsiasi (1)
  • La seconda diversa dalla prima (15/19)
  • La terza diversa da entrambe (10/18)
  • p(“diverse”) = \frac{15}{19}\cdot \frac{10}{18} = \frac{25}{57} = 43,859…%

Soluzione 2

Calcola il numero di disposizioni

  • 3 palline su 20: {20 \choose 3}=\frac{20!}{3!17!}
  • 2 palline su 15: {15 \choose 2}}=\frac{15!}{2!13!}
  • 1 pallina su 5: {5 \choose 1}=\frac{5!}{1!4!}=5
  • 3 palline su 4: {4 \choose 3}=\frac{4!}{3!1!}=4

e poi le probabilità

  1. Esattamente una pallina è rossa: \frac{{5 \choose 1}{15 \choose 2}}{{20 \choose 3}} = … = \frac{35}{76} = …
  2. Le tre palline sono di colori differenti: \frac{{5 \choose 1}{5 \choose 1}{5 \choose 1}{4 \choose 3}}{{20 \choose 3}} = … = \frac{25}{57} = …

Codifica: Python