E.S. 2017 – 8

Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da 1 a 12.
Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero 3 si presenti con una probabilità p doppia rispetto a ciascun’altra faccia.
Determinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero 3 esca almeno 2 volte.


Determinare il valore di p in percentuale

  • p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7+p_8+p_9+p_{10}+p_{11}+p_{12}=1
  • p_1=p_2=p_4=p_5=p_6=p_7=p_8=p_9=p_{10}=p_{11}=p_{12}
  • p_3=2p_1

quindi

  • 13p_1=1, p_1=\frac{1}{13}
  • p_1=p_2=p_4=p_5=p_6=p_7=p_8=p_9=p_{10}=p_{11}=p_{12}=\frac{1}{13}
  • p_3=\frac{2}{13} = 0,1538… = 15,38… %

Calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero 3 esca almeno 2 volte

  • Probabilità di non ottenere 3 in un lancio: 1-\frac{2}{13}=\frac{11}{13}
  • Probabilità di ottenere 0 volte 3 in 5 lanci: {5 \choose 0}\left(\frac{2}{13}\right)^0\left(\frac{11}{13}\right)^5=\frac{11^5}{13^5}
  • Probabilità di ottenere 1 volta 3 in 5 lanci: {5 \choose 1}\left(\frac{2}{13}\right)^1\left(\frac{11}{13}\right)^4=\frac{2\cdot5\cdot11^4}{13^5}
  • Probabilità di ottenere almeno 2 volte 3 in 5 lanci
    p = 1 – {5 \choose 0}\left(\frac{2}{13}\right)^0\left(\frac{11}{13}\right)^5{5 \choose 1}\left(\frac{2}{13}\right)^1\left(\frac{11}{13}\right)^4 = 1-\frac{11^5}{13^5}-\frac{2\cdot5\cdot11^4}{13^5} = \frac{13^5-21\cdot11^4}{13^5} = \frac{63832}{371293} = 0,1719… = 17,19… %



Per esercizio

  • Probabilità di ottenere 0 volte 3 in 5 lanci: {5 \choose 0}\left(\frac{2}{13}\right)^0\left(\frac{11}{13}\right)^51\cdot \frac{11^5}{13^5} = …
  • Probabilità di ottenere 1 volta 3 in 5 lanci: {5 \choose 1}\left(\frac{2}{13}\right)^1\left(\frac{11}{13}\right)^45\cdot \frac{2\cdot 11^4}{13^5} = …
  • Probabilità di ottenere 2 volte 3 in 5 lanci: {5 \choose 2}\left(\frac{2}{13}\right)^2\left(\frac{11}{13}\right)^310\cdot \frac{2^2\cdot 11^3}{13^5} = …
  • Probabilità di ottenere 3 volte 3 in 5 lanci: {5 \choose 3}\left(\frac{2}{13}\right)^3\left(\frac{11}{13}\right)^210\cdot \frac{2^3\cdot 11^2}{13^5} = …
  • Probabilità di ottenere 4 volte 3 in 5 lanci: {5 \choose 4}\left(\frac{2}{13}\right)^4\left(\frac{11}{13}\right)^1 = 5\cdot \frac{2^4\cdot 11}{13^5} = …
  • Probabilità di ottenere 5 volte 3 in 5 lanci: {5 \choose 5}\left(\frac{2}{13}\right)^5\left(\frac{11}{13}\right)^0 = 1 \cdot \frac{2^5}{13^5} = …
Notice: This work is licensed under a BY-NC-SA. Permalink: E.S. 2017 – 8

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