E.S. 2017 – 9

Dimostrare che l’equazione \arctan x +x^3+e^x=0 ha una e una sola soluzione reale.

Sia

f(x)=\arctan x +x^3+e^x

Osserva

  • f(x) è continua…
    • \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty
    • \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, almeno uno zero…
  • f'(x)=\frac{1}{1+x^2}+3x^2+e^x
    • f\prime(x)\ > \ 0
    • f(x) crescente, no punti notevoli, un solo zero
  • f(0)=1
  • f(-1)=-\frac{\pi}{4}-1+\frac{1}{e} < 0, segni discordi in [-1, 0]

Conclusione

Esiste x_0\in (-1,\ 0) tale che f(x_0)=0
L’equazione ha una e una sola soluzione reale.

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