Esame di Stato 2018 – 8

di

In un gioco a due giocatori, ogni partita vinta frutta 1 punto e vince chi per primo raggiunge 10 punti.
Due giocatori che in ciascuna partita hanno la stessa probabilità di vincere si sfidano.
Qual è la probabilità che uno dei due giocatori vinca in un numero di partite minore o uguale a 12?

Vedi: Zanichelli.it | Matematica.it

Soluzione 1

Considera le probabilità degli eventi che portano alla vittoria di A

  • 10 punti nelle prime 10 partite: {10 \choose 10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{0} =  \frac{1}{2^{10}}
  • 9 punti nelle prime 10 partite e 1 punto nella 11°: {10 \choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^1 .\frac{1}{2} = … = 10\cdot \frac{1}{2^{11}}
  • 9 punti nelle prime 11 partite e 1 punto nella 12°: {11 \choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^2.\frac{1}{2} = … = 55\cdot\frac{1}{2^{12}}
  • (10 punti in 10 partite) oppure
    (9 punti nelle prime 10 partite e 1 punto nella 11°) oppure
    (9 punti nelle prime 11 partite e 1 punto nella 12°)
    \frac{1}{2^{10}} + 10\cdot \frac{1}{2^{11}} + 55\cdot\frac{1}{2^{12}} = … = \frac{79}{2^{12}}

Simmetricamente le sconfitte di A portano a vittorie di B e ripetendo i calcoli si ottiene lo stesso risultato quindi “la probabilità che uno dei due giocatori vinca in un numero di partite minore o uguale a 12” è

2\cdot\frac{79}{2^{12}} = \frac{79}{2^{11}} ~ 0.0386 = 3.86 %

Soluzione 2

  • 10 punti nelle prime 10 partite: {10 \choose 10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{0} =  \frac{1}{2^{10}}
  • 9 punti nelle prime 10 partite e 1 punto nella 11°: {10 \choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^1 .\frac{1}{2} = … = 10\cdot \frac{1}{2^{11}}
  • 9 punti nelle prime 10 partite, 0 punti nella 11° e 1 punto nella 12°: {11 \choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^2.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = … = 10\cdot \frac{1}{2^{12}}
  • 8 punti nelle prime 10 partite, 1 punto nella 11 e 1 punto nella 12°: {10 \choose 8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = … = 45\cdot\frac{1}{2^{12}}
  • …
    \frac{1}{2^{10}} + 10\cdot \frac{1}{2^{11}} + 10\cdot \frac{1}{2^{12}} + 45\cdot\frac{1}{2^{12}} = … = \frac{79}{2^{12}}
  • …

Soluzione 3

Il giocatore A vince in 12 partite se ottiene 10, 11 oppure 12 punti

  • {12 \choose 10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^2 + {12 \choose 11}\left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left(\frac{1}{2}\right)^0 + {12 \choose 12}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}
  • 66\cdot\frac{1}{2^{12}} + 12\cdot\frac{1}{2^{12}} + \frac{1}{2^{12}}
  • \frac{79}{2^{12}}
  • …

Esercizio

Considera le probabilità del numero di vittorie per ogni numero di partite

 Numero di partite
89101112
Numero
di vittorie
0{8 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}{9 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}{10 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}{11 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{11}{12 \choose 0}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}
1{8 \choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}{9 \choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}{10 \choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}{11 \choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}{12 \choose 1}\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^{11}
2{8 \choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{6}{9 \choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{7}{10 \choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}{11 \choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}{12 \choose 2}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}
…—————
8{8 \choose 8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}{9 \choose 8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{1}{10 \choose 8}\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}——
9—{9 \choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}{10 \choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^1{11 \choose 9}\left(\frac{1}{2}\right)^{9}\left(\frac{1}{2}\right)^2—
10——{10 \choose 10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}{11 \choose 10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^1{12 \choose 10}\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\left(\frac{1}{2}\right)^2
11———{11 \choose 11}\left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}{12 \choose 11}\left(\frac{1}{2}\right)^{11}\left(\frac{1}{2}\right)^0
12————{12 \choose 12}\left(\frac{1}{2}\right)^{12}\left(\frac{1}{2}\right)^{0}

In sintesi

 Numero di partite
89101112
Numero
di vittorie		0\frac{1}{2^{8}}\frac{1}{2^{9}}\frac{1}{2^{10}}\frac{1}{2^{11}}\frac{1}{2^{12}}
18\cdot\frac{1}{2^{8}}9\cdot\frac{1}{2^{9}}10\cdot\frac{1}{2^{10}}11\cdot\frac{1}{2^{11}}12\cdot\frac{1}{2^{12}}
228\cdot\frac{1}{2^{8}}36\cdot\frac{1}{2^{9}}45\cdot\frac{1}{2^{10}}55\cdot\frac{1}{2^{11}}66\cdot\frac{1}{2^{12}}
…—————
8\frac{1}{2^{8}}9\cdot\frac{1}{2^{9}}45\cdot\frac{1}{2^{10}}——
9—\frac{1}{2^{9}}10\cdot\frac{1}{2^{10}}55\cdot\frac{1}{2^{11}}—
10——\frac{1}{2^{10}}11\cdot\frac{1}{2^{11}}66\cdot\frac{1}{2^{12}}
11———\frac{1}{2^{11}}12\cdot\frac{1}{2^{12}}
12————\frac{1}{2^{12}}