Integrazione numerica – Parabole

Metodo di Cavalieri-Simpson

Con n pari ogni due intervalli si utilizza la parabola passante per 3 punti (di seguito trovi le formule finali)

La distanza tra due ascisse successive è $\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$

$i$	$x_i$	$a+i\cdot h$	$y_i$	$f(a+i\cdot h)$
0	$x_0$	$a$	$y_0$	$f(a)$
1	$x_1$	$a+h$	$y_1$	$f(a+h)$
2	$x_2$	$a+2\cdot h$	$y_2$	$f(a+2\cdot h)$
…	…	…	…	…
n-2	$x_{n-2}$	$a+(n-2)\cdot h$	$y_{n-2}$	$f(a+(n-2)\cdot h)$
n-1	$x_{n-1}$	$a+(n-1)\cdot h$	$y_{n-1}$	$f(a+(n-1)\cdot h)$
n	$x_n$	$b$	$y_n$	$f(b)$

Calcolo dell’area al crescere di n

\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot y_1+y_2\right)

n	Area
2	$\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot y_1+y_2\right)$
4	$\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot y_1+y_2\right)$ + $\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_2+4\cdot y_3+y_4\right)$	= $\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot y_1+2\cdot y_2+4\cdot y_3+y_4\right)$
6	$\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot y_1+y_2\right)$ + $\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_2+4\cdot y_3+y_4\right)$ + $\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_4+4\cdot y_5+y_6\right)$	= $\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot y_1+2\cdot y_2+4\cdot y_3+2\cdot y_4+4\cdot y_5+y_6\right)$
…	…	…
qualsiasi	$\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot y_1+y_2\right)$ + $\dots$ + $\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_{n-2}+4\cdot y_{n-1}+y_n\right)$	= $\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot y_1+2\cdot y_2+\dots+y_n\right)$

L’area di n/2 archi di parabole, oppure

Area = $\displaystyle (b-a)\cdot \frac{f(a)+4\cdot f(a+h)+2\cdot f(a+2\cdot h)+\dots + 2\cdot f(a+(n-2)\cdot h)+4\cdot f(a+(n-1)\cdot h)+f(b)}{3\cdot n}$

Un unico rettangolo con base (b-a) e altezza data dalla media pesata delle n+1 altezze.

Sommatorie?

Formulazioni con le sommatorie

\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot\sum _{i\ dispari}y_i+2\cdot\sum _{i\ pari} y_i+y_{n}\right)

\displaystyle \frac{h}{3}\, \left[f(a)+4\cdot\sum _{i\ dispari}f(a+(2i-1)\cdot h)+2\cdot\sum _{i\ pari} f(a+2i\cdot h)+f(b)\right]

$\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot\sum _{i\ dispari}y_i+2\cdot\sum _{i\ pari} y_i+y_{n}\right)$	= $\displaystyle \frac{h}{3}\, \left[f(a)+4\cdot\sum _{i\ dispari}f(a+(2i-1)\cdot h)+2\cdot\sum _{i\ pari} f(a+2i\cdot h)+f(b)\right]$
$\displaystyle \frac{h}{3}\cdot \left(y_0+4\cdot\sum _{i=1}^{n/2}y_{2i-1}+2\cdot\sum _{i=1}^{n/2-1} y_{2i}+y_{n}\right)$	= $\displaystyle \frac{h}{3}\, \left[f(a)+4\cdot\sum _{i=1}^{n/2}f(a+(2i-1)\cdot h)+2\cdot\sum _{i=1}^{n/2-1} f(a+2i\cdot h)+f(b)\right]$