Integrazione numerica – Rettangoli

La distanza tra due ascisse successive è $\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$

Altezze di sinistra

L’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione a sinistra dell’intervallo

$i$	$x_i$	$a+i\cdot h$	$y_i$	$f(a+i\cdot h)$
0	$x_0$	$a$	$y_0$	$f(a)$
1	$x_1$	$a+h$	$y_1$	$f(a+h)$
2	$x_2$	$a+2\cdot h$	$y_2$	$f(a+2\cdot h)$
…	…	…	…	…
n-2	$x_{n-2}$	$a+(n-2)\cdot h$	$y_{n-2}$	$f(a+(n-2)\cdot h)$
n-1	$x_{n-1}$	$a+(n-1)\cdot h$	$y_{n-1}$	$f(a+(n-1)\cdot h)$

Calcolo dell’area al crescere di n

n	Area
1	$\displaystyle h\cdot y_0$
2	$\displaystyle h\cdot y_0+h\cdot y_1$	= $\displaystyle h\cdot \left( y_0 + y_1\right)$
3	$\displaystyle h\cdot y_0+h\cdot y_1+h\cdot y_2$	= $\displaystyle h\cdot \left( y_0 + y_1 + y_2\right)$
…	…	…
qualsiasi	$\displaystyle h\cdot y_0 + h\cdot y_1 + \dots + h\cdot y_{n-1}$	= $\displaystyle h\cdot (y_0 + y_1 + \dots + y_{n-1})$

Il calcolo dell’area di un unico rettangolo con base h e altezza data dalla somma delle n altezze

Oppure, sostituendo il valore di h

Area = $\displaystyle (b-a)\cdot\frac{y_0 + y_1 + \dots + y_{n-1}}{n}$

Il calcolo dell’area di un unico rettangolo con base (b-a) e altezza data dalla media aritmetica delle n altezze.

L’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione nel punto centrale dell’intervallo

$i$	$x_i$		$y_i$
0*	$x_{0*}$	$\displaystyle a+\frac{h}{2}$	$y_{0*}$	$\displaystyle f\left(a+\frac{h}{2}\right)$
1*	$x_{1*}$	$\displaystyle a+\frac{h}{2}$	$y_{1*}$	$\displaystyle f\left(a+\frac{h}{2}+h\right)$
2*	$x_{2*}$	$\displaystyle a+\frac{h}{2}+h$	$y_{2*}$	$\displaystyle f\left(a+\frac{h}{2}+2\cdot h\right)$
…	…	…	…	…
(n-2)*	$x_{(n-2)*}$	$\displaystyle a+\frac{h}{2}+(n-2)\cdot h$	$y_{(n-2)*}$	$\displaystyle f\left(a+\frac{h}{2}+(n-2)\cdot h\right)$
(n-1)*	$x_{(n-1)*}$	$\displaystyle a+\frac{h}{2}+(n-1)\cdot h$	$y_{(n-1)*}$	$\displaystyle f\left(a+\frac{h}{2}+(n-1)\cdot h\right)$

Area?

L’altezza di ogni rettangolo è data dal valore della funzione a destra

$i$	$x_i$	$a+i\cdot h$	$y_i$	$f(a+i\cdot h)$
1	$x_1$	$a+h$	$y_1$	$f(a+h)$
2	$x_2$	$a+2\cdot h$	$y_2$	$f(a+2\cdot h)$
3	$x_3$	$a+3\cdot h$	$y_3$	$f(a+3\cdot h)$
…	…	…	…	…
n-2	$x_{n-2}$	$a+(n-2)\cdot h$	$y_{n-2}$	$f(a+(n-2)\cdot h)$
n-1	$x_{n-1}$	$a+(n-1)\cdot h$	$y_{n-1}$	$f(a+(n-1)\cdot h)$
n	$x_n$	$a+n\cdot h$ = $b$	$y_n$	$f(b)$

Area?

Osserva le formulazioni alternative con le sommatorie

Altezze di sinistra	$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} h\cdot y_i$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} y_i$
	$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} h\cdot f(x_i)$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} f(a+i \cdot h)$
		= $\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$	= $\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f(a+i \cdot h)$
Altezze centrali	$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} h\cdot y_{i*}$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} y_{i*}$
	$\displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} h\cdot f(x_i^*)$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i^*)$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a + \frac{h}{2}+i \cdot h\right)$
		= $\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i^*)$	= $\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=0}^{n-1} f\left(a + \frac{h}{2}+i \cdot h\right)$
Altezze di destra	$\displaystyle \sum_{i=1}^n h\cdot y_i$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=1}^{n} y_{i*}$
	$\displaystyle \sum_{i=1}^{n} h\cdot f(x_i)$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$	= $\displaystyle h\, \sum_{i=1}^{n} f(a+i \cdot h)$
		= $\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=1}^n f(x_i)$	= $\displaystyle (b-a)\,\frac{1}{n}\, \sum_{i=1}^{n} f(a+i\cdot h)$