Integrazione numerica – Trapezi

La distanza tra due ascisse successive è $\displaystyle h=\frac{b-a}{n}$

$i$	$x_i$	$a+i\cdot h$	$y_i$	$f(a+i\cdot h)$
0	$x_0$	$a$	$y_0$	$f(a)$
1	$x_1$	$a+h$	$y_1$	$f(a+h)$
2	$x_2$	$a+2\cdot h$	$y_2$	$f(a+2\cdot h)$
…	…	…	…	…
n-2	$x_{n-2}$	$a+(n-2)\cdot h$	$y_{n-2}$	$f(a+(n-2)\cdot h)$
n-1	$x_{n-1}$	$a+(n-1)\cdot h$	$y_{n-1}$	$f(a+(n-1)\cdot h)$
n	$x_n$	$b$	$y_n$	$f(b)$

Calcolo dell’area al crescere di n

\displaystyle \left(y_0+y_1\right)\cdot \frac{h}{2}

\displaystyle \frac{h}{2}\cdot \left(y_0+y_1\right)

n	Area
1	$\displaystyle \left(y_0+y_1\right)\cdot \frac{h}{2}$	= $\displaystyle \frac{h}{2}\cdot \left(y_0+y_1\right)$
2	$\displaystyle \left(y_0+y_1\right)\cdot \frac{h}{2}$ + $\displaystyle \left(y_1+y_2\right)\cdot \frac{h}{2}$	= $\displaystyle \frac{h}{2}\cdot \left(y_0+2\cdot y_1+y_2\right)$
3	$\displaystyle \left(y_0+y_1\right)\cdot \frac{h}{2}$ + $\displaystyle \left(y_1+y_2\right)\cdot \frac{h}{2}$ + $\displaystyle \left(y_2+y_3\right)\cdot \frac{h}{2}$	= $\displaystyle \frac{h}{2}\cdot \left(y_0+2\cdot y_1+2\cdot y_2+y_3\right)$
…	…	…
qualsiasi	$\displaystyle \left(y_0+y_1\right)\cdot \frac{h}{2}$ + $\displaystyle \left(y_1+y_2\right)\cdot \frac{h}{2}$ + $\dots$ + $\displaystyle \left(y_{n-1}+y_n\right)\cdot \frac{h}{2}$	= $\displaystyle \frac{h}{2}\cdot \left(y_0+2\cdot y_1+2\cdot y_2+\dots+y_n\right)$

La somma delle aree di n trapezi oppure la somma delle aree di n rettangoli ma con l’altezza di ogni rettangolo data dalla media tra quella di sinistra e quella di destra

Oppure, Area = $\displaystyle (b-a)\cdot \frac{f(a)+2\cdot f(a+h)+\dots + 2\cdot f(a+(n-1)\cdot h) + f(b)}{2\cdot n}$

Un unico rettangolo con base (b-a) e altezza data dalla media pesata delle n+1 altezze

Oppure, Area = $\displaystyle h\cdot \left[\frac{f(a)+f(b)}{2} + f(a+h)+\dots + f(a+(n-1)\cdot h)\right]$

Un unico rettangolo con base h e altezza data dalla somma tra le n-1 altezze interne e la media della prima e dell’ultima altezza

Sommatorie?

Osserva le formulazioni con le sommatorie

\displaystyle \frac {h}{2}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\left(y_i+y_{i+1}\right)

\displaystyle \frac {h}{2}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\big[f(a+i\cdot h)+f(a+(i+1)\cdot h)\big]

$\displaystyle \frac {h}{2}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\left(y_i+y_{i+1}\right)$	= $\displaystyle \frac {h}{2}\cdot \sum_{i=0}^{n-1}\big[f(a+i\cdot h)+f(a+(i+1)\cdot h)\big]$
$\displaystyle \frac {h}{2}\cdot\left(y_0+2\cdot \sum_{i=1}^{n-1}y_i+y_n\right)$	= $\displaystyle \frac {h}{2}\cdot \left[f(a)+2\cdot\sum_{i=1}^{n-1}f(a+i\cdot h)+f(b)\right]$
$\displaystyle h\cdot\left(\frac{y_0+y_n}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}y_i\right)$	= $\displaystyle h\cdot \left[\frac{f(a)+f(b)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1}f(a+i\cdot h)\right]$