INVALSI – V – Esempio 1 – 7

I test clinici sono soggetti a errore; a volte non rilevano una malattia in persone malate e a volte la rilevano in persone sane.
Una malattia colpisce il 2% delle persone di una popolazione.
Un test clinico risulta positivo, cioè rileva la malattia, nel 90% delle persone malate e nell’1% delle persone sane.

La situazione è descritta dal diagramma ad albero seguente.

Un individuo della popolazione si è sottoposto al test che è risultato positivo.
Qual è la probabilità che l’individuo sia malato?



Osserva

  • p(“malato” e “test positivo”) = 2% * 90% = \frac{180}{10000}
  • p(“malato” e “test negativo”) = 2% * 10% = \frac{20}{10000}
  • p(“sano” e “test positivo”) = 98% * 1% = \frac{98}{10000}
  • p(“sano” e “test negativo”) = 98% * 99% = \frac{9702}{10000}
  • p(“tutti i casi”) = \frac{10000}{10000} = 1

Osserva

  • Circa 20 persone su 10.000 risultano negative al test ma sono malate…
  • Circa 98 persone su 10.000 risultano positive al test ma non sono malate…
  • Circa 278 persone su 10.000 risultano positive al test ma di queste soltanto 180 sono effettivamente malate…
  • Circa 98 persone su 278 non sono malate anche se il test è risultato positivo…

Quindi

  • p(“test positivo”)
    • = p(“malato” e “test positivo”) + p(“sano” e “test positivo”)
    • = \frac{180}{10000} + \frac{98}{10000}
    • = \frac{278}{10000}
  • p(“malato” | “test positivo”)
    • = p(“malato” e “test positivo”) / p(“test positivo”)
    • = \frac{180}{10000} · \frac{10000}{278}
    • = \frac{180}{278}
    • ~ 0,6775 (67,75%)
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