Moneta di Buffon 1

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento ricoperto di assi parallele (parquet…).

La probabilità che la moneta tocchi il bordo di un’asse dipende dall’altezza di ogni striscia e dal raggio della moneta.
La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di una striscia interna

  1. Altezza della striscia sul pavimento, H
  2. Raggio della moneta, R, \ \ \ 0 \leq R \leq \frac{H}{2}
  3. Altezza della striscia interna,  h=H-2R

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie della striscia interna e tutta la superficie di una striscia, quindi dal rapporto tra le due altezze

P_I = \frac{h}{H}=\frac{H-2R}{H}=1-\frac{2R}{H}

La probabilità di toccare il bordo

 P=1-P_I=\frac{2R}{H}


Per semplificare

  1. Altezza della striscia, H=1
  2. Raggio della moneta, 0 \leq R \leq 1/2

La probabilità che la moneta tocchi il bordo della striscia è, al variare del raggio della moneta

R h PI P
1/8 6/8 6/8 2/8
0,25
2/8 4/8 4/8 4/8
0,50
3/8 2/8 2/8 6/8
0,75

Naturalmente

  • Se R \rightarrow 0 allora P \rightarrow 0
  • Se R \rightarrow 1/2 allora P \rightarrow 1

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

  • il centro della striscia ha y=0
  • l’ordinata del centro della moneta -1/2 \leq y\leq +1/2
  • la moneta tocca il bordo di una striscia se |y|\geq 1/2-R

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della striscia e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

R Numero lanci P
101 102 103 104 105
1/8 ? ? ? ? ? 0,25
2/8 ? ? ? ? ? 0,50
3/8 ? ? ? ? ? 0,75

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