Numeri di Fibonacci

I numeri di Fibonacci prendono il nome da una sfida matematica che Fibonacci lanciò a un suo collega.
Il problema tratta la proverbiale velocità con cui i conigli si riproducono:

  • il 1° mese è presente una coppia di conigli
  • una coppia di conigli diventa matura all’inizio del 2° mese di vita
  • la gestazione dura un mese
  • ogni parto produce una coppia maschio-femmina di conigli
  • ogni coppia di conigli sopravvive e si riproduce per sempre…

Calcolare il numero di coppie di conigli dopo 10 mesi.

Analisi


Tramite i pulsanti puoi osservare l’evoluzione della popolazione di conigli fino al sesto mese
Ogni mese sono presenti i conigli già presenti il mese precedente più quelli appena nati, che sono in numero uguale ai conigli presenti due mesi prima!

I numeri di Fibonacci sono proprio la successione 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … cioè il numero di coppie di conigli per ogni mese.

Al decimo mese ci saranno 55 coppie di conigli.


Algoritmo iterativo

A partire dai valori noti (1, 1) si calcola, mese dopo mese, un nuovo valore finché non si giunge al mese richiesto.

Per calcolare fibonacci(5) si seguono i passi

  1. fibonacci(1) = 1
  2. fibonacci(2) = 1
  3. fibonacci(3) = fibonacci(2)+fibonacci(1) = 1+1 = 2
  4. fibonacci(4) = fibonacci(3)+fibonacci(2) = 2+1 = 3
  5. fibonacci(5) = fibonacci(4)+fibonacci(3) = 3+2 = 5

Algoritmo ricorsivo

La formulazione ricorsiva dei numeri di Fibonacci è molto comoda perché sintetica

f(n)=\left \{ \begin{array}{ll} 1 & n=1,2 \\ f(n-1)+f(n-2) & n>2 \end{array}

Esempio: fibonacci(5) = fibonacci(4)+fibonacci(3) = (fibonacci(3)+fibonacci(2))+(fibonacci(2)+fibonacci(1)) = ((fibonacci(2)+fibonacci(1))+1)+(1+1) = ((1+1)+1)+(1+1) = 5


Con formula!

Non è necessario alcun algoritmo iterativo o ricorsivo se si utilizza la formula

f(n)=\frac{1}{\sqr{5}} \left [\left (\frac{1+\sqr{5}}{2} \right )^n-\left( \frac{1-\sqr{5}}{2} \right )^n \right ]

Il contributo del secondo termine è così piccolo che può essere trascurato.
Calcola il primo termine e considera l’intero più vicino (arrotonda).


Quanto vale il rapporto tra due numeri di Fibonacci consecutivi?

Prova per n crescente finché non raggiungi un’approssimazione adeguata

n f(n) (n+1)°/n° n°/(n+1)°
1 1
1 1 1 1
2 1 2 0,5
3 2 1,5 0,6…
4 3 1,6… 0,625
5 5 1,625 0,6153…
1,6180339… 0,6180339…

Strano…



Codifica: Python

Notice: This work is licensed under a BY-NC-SA. Permalink: Numeri di Fibonacci

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