Pi greco – Metodo di Archimede

Da Wikipedia

Il metodo di esaustione è un procedimento utile a calcolare aree di varie figure geometriche piane.
Consiste nella costruzione di una successione di poligoni che convergono alla figura data.
L’area della figura risulta essere quindi il limite delle aree dei poligoni.

Il sofista Antifonte (430 a.C.) tentò di determinare l’area del cerchio inscrivendovi dei triangoli sempre più piccoli, fino a quando la sua area non “esaurisce”.

Un più famoso esempio di applicazione del metodo di esaustione è quello della quadratura del cerchio effettuata da Archimede.
Egli però utilizzò due metodi, quello di esaustione, inscrivendo poligoni regolari su di un cerchio di raggio unitario, e il metodo di compressione, circoscrivendo cioè i poligoni al cerchio.
In questo modo all’aumentare del numero dei lati dei poligoni le figure tenderanno ad avvicinarsi alla forma del cerchio, tanto che egli ottenne una misura abbastanza precisa del π.
Il metodo di esaustione venne descritto all’interno del Metodo, un libro di Archimede in cui spiega questo procedimento.

Il metodo di Archimede utilizza diversi trucchi della geometria: le proprietà dell’esagono, r=L, il Teorema di Pitagora, un criterio di similitudine, \frac{L_C}{L_I}=\frac{A_C}{A_I}, …

A ogni passo si costruiscono due poligoni simili, inscritto e circoscritto, e si ottengono due nuove approssimazioni di π, per difetto e per eccesso, con valore sempre più vicino a quello esatto

Perimetro del poligono inscritto < Circonferenza < Perimetro del poligono circoscritto

P_I \ < \ C \ < \ P_C

P_I \ < \ \pi\cdot D \ < \ P_C

\frac{P_I}{D}\ < \ \pi\ <\ \frac{P_C}{D}

\pi_I \ < \ \pi \ < \ \pi_C


Situazione iniziale

Un esagono inscritto e un esagono circoscritto (n=6)

Esagono inscritto Esagono circoscritto r=1
Lato L_I=r L_C=\frac{A_C}{A_I}L_I L_I=1

L_C=\frac{2}{\sqrt{3}}

Apotema A_I=\sqrt{r^2-\left(\frac{L_I}{2}\right)^2} A_C=r

\Delta =A_C-A_I

A_I=\frac{\sqrt{3}}{2}

A_C=1

\Delta =1-\frac{\sqrt{3}}{2}

Perimetro P_I=nL_I P_C=nL_C P_I=6

P_C=\frac{12}{\sqrt{3}}

π \pi_I=\frac{P_I}{D} \pi_C=\frac{P_C}{D} \pi_I=3

\pi_C=\frac{6}{\sqrt{3}}

Δ è la differenze tra i 2 apotemi necessaria per il passo successivo…


Passi successivi

Un poligono inscritto e un poligono circoscritto con numero di lati doppio rispetto al passo precedente

Poligono inscritto Poligono circoscritto
Lato L_I=\sqrt{\left(\frac{L_i}{2} \right)^2+\Delta^2} L_C=\frac{A_C}{A_I}L_I
Apotema A_I=\sqrt{r^2-\left(\frac{L_I}{2}\right)^2} A_C=r
\Delta =A_C-A_I
Perimetro P_I=nL_I P_C=nL_C
π \pi_I=\frac{P_I}{D} \pi_C=\frac{P_C}{D}

Approssimazioni

n

\pi_IEsaustione

\pi_CCompressione
6 3,0000000000 3,4641016151
12 3,1058285412 3,2153903092
24 3,1326286133 3,1596599421
48 3,1393502030 3,1460862151
96 3,1410319509 3,1427145996
192 3,1414524723 3,1418730500
384 3,1415576079 3,1416627471
768 3,1415838921 3,1416101766
1536 3,1415904632 3,1415970343
3072 3,1415921060 3,1415937488
6144 3,1415925167 3,1415929274
12288 3,1415926194 3,1415927220
24576 3,1415926450 3,1415926707


Codifica: Python






Libro di testo: da controllare…

Per semplificare: consideriamo solo la fase di esaustione e sostituiamo

L_{2n}=\sqrt{r\left(2r - \sqrt{4r^2-L_n^2}\right)}

Con r=1

L_{2n}=\sqrt{2 - \sqrt{4-L_n^2}}

Se il primo poligono è un quadrato

  • L_4=\sqrt{2}
  • L_8=\sqrt{2-\sqrt{2}}

Naturalmente

\pi \approx \frac{nL_n}{2}

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