Tag Archives: Buffon

Moneta di Buffon 1

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento ricoperto di assi parallele (parquet…).

La probabilità che la moneta tocchi il bordo di un’asse dipende dall’altezza di ogni striscia e dal raggio della moneta.
La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di una striscia interna

  1. Altezza della striscia sul pavimento, H
  2. Raggio della moneta, R, \ \ \ 0 \leq R \leq \frac{H}{2}
  3. Altezza della striscia interna,  h=H-2R

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie della striscia interna e tutta la superficie di una striscia, quindi dal rapporto tra le due altezze

P_I = \frac{h}{H}=\frac{H-2R}{H}=1-\frac{2R}{H}

La probabilità di toccare il bordo

 P=1-P_I=\frac{2R}{H}


Per semplificare

  1. Altezza della striscia, H=1
  2. Raggio della moneta, 0 \leq R \leq 1/2

La probabilità che la moneta tocchi il bordo della striscia è, al variare del raggio della moneta

R h PI P
1/8 6/8 6/8 2/8
0,25
2/8 4/8 4/8 4/8
0,50
3/8 2/8 2/8 6/8
0,75

Naturalmente

  • Se R \rightarrow 0 allora P \rightarrow 0
  • Se R \rightarrow 1/2 allora P \rightarrow 1

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

  • il centro della striscia ha y=0
  • l’ordinata del centro della moneta -1/2 \leq y\leq +1/2
  • la moneta tocca il bordo di una striscia se |y|\geq 1/2-R

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della striscia e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

R Numero lanci P
101 102 103 104 105
1/8 ? ? ? ? ? 0,25
2/8 ? ? ? ? ? 0,50
3/8 ? ? ? ? ? 0,75

E.S. 2012 – 2 – P.N.I.

Una moneta di 1 euro (il suo diametro è di 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?


Vedi 2009-03 P.N.I.

buffon6La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno dell’esagono interno

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie dell’esagono interno Si e della piastrella intera S

  1. Lato della piastrella: L = 10 cm
  2. Diametro della moneta: D = 2R = 23,25 mm = 2,325 cm
  3. Apotema (altezza del triangolo equilatero di lato L): A=\frac{\sqrt{3}}{2}L
  4. Apotema dell’esagono interno: A_i=A-R
  5. Probabilità che la moneta cada all’interno: P_i=\frac{S_i}{S}

Osserva

  1. Il rapporto tra le superfici dei due esagoni è uguale al rapporto tra i quadrati dei lati
  2. Il rapporto tra le superfici dei due esagoni è uguale al rapporto tra i quadrati degli apotemi

Calcoli…

P_i=\frac{A_i^2}{A^2}=\dots=\left(1-\frac{2,325}{1,73...\cdot 10} \right)^2 ~ 75%


Se vuoi dimostrare che…

buffon6-2

E.S. 2009 – 3 – P.N.I.

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?


Vedi la discussione:  La moneta di Buffon 1La moneta di Buffon 2


La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno del quadrato interno

Osserva

  1. Il lato della piastrella, L = 10 cm
  2. La superficie della piastrella, S = L2 = …
  3. Il diametro della moneta, D = (2R) = 25,75 mm = 2,575 cm
  4. La superficie del quadrato interno, Si = (L-D)2 = …

Quindi

p=\frac{S_i}{S}=\frac{(L-D)^2}{L^2}=...=0.55...


Codifica: Python

Moneta di Buffon 2

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento coperto da mattonelle quadrate di lato L.
La probabilità che la moneta tocchi il bordo di una mattonella dipende dalla dimensione (raggio) della moneta.
La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di un quadrato interno con

  1. Raggio della moneta, 0 \leq R \leq L/2
  2. Lato interno,  L_I=L-2R
  3. Superficie del quadrato interno,  S_I=(L-2R)^2=L^2-4LR+4R^2

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie del quadrato interno e la superficie della piastrella intera

P_I=\frac{S_I}{S}

La probabilità di toccare il bordo

 P=1-P_I


Per semplificare

  1. Il lato della piastrella, L=1
  2. La superficie della piastrella, S=L^2=1
  3. Il raggio della moneta, 0 \leq R \leq 1/2

Teoricamente, la probabilità che la moneta tocchi il bordo della piastrella nei 3 casi in figura è

R LI SI PI P
1/8 6/8 36/64 36/64 28/64 0,4375
2/8 4/8 16/64 16/64 48/64 0,7500
3/8 2/8 4/64 4/64 60/64 0,9375

Naturalmente

  • Se R \rightarrow 0 allora P \rightarrow 0
  • Se R \rightarrow 1/2 allora P \rightarrow 1

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

  • il centro della mattonella è (0,0)
  • le coordinate casuali del centro della moneta sono (x,y)
  • -1/2 \leq x,y\leq +1/2
  • la moneta tocca il bordo di una mattonella se |x|\geq 1/2-R oppure |y|\geq 1/2-R

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della mattonella e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

R Numero lanci P
101 102 103 104 105
1/8 ? ? ? ? ? 0,4375
2/8 ? ? ? ? ? 0,7500
3/8 ? ? ? ? ? 0,9375