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E.S. 2012 – 2 – P.N.I.

Una moneta di 1 euro (il suo diametro è di 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?


Vedi 2009-03 P.N.I.

buffon6La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno dell’esagono interno

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie dell’esagono interno Si e della piastrella intera S

  1. Lato della piastrella: L = 10 cm
  2. Diametro della moneta: D = 2R = 23,25 mm = 2,325 cm
  3. Apotema (altezza del triangolo equilatero di lato L): A=\frac{\sqrt{3}}{2}L
  4. Apotema dell’esagono interno: A_i=A-R
  5. Probabilità che la moneta cada all’interno: P_i=\frac{S_i}{S}

Osserva

  1. Il rapporto tra le superfici dei due esagoni è uguale al rapporto tra i quadrati dei lati
  2. oppure degli apotemi
    buffon6-2
  3. Calcoli…
    P_i=\left(1-\frac{2,325}{1,73...\cdot 10} \right)^2 = …

La probabilità è circa del 75%

E.S. 2009 – 3 – P.N.I.

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?

Vedi: La moneta di Buffon

La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di un quadrato interno.

monete3La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie del quadrato interno e della piastrella intera

  1. Il lato della piastrella, L = 10 cm
  2. Il diametro della moneta, D = (2R) = 25,75 mm = 2,575 cm
  3. La superficie della piastrella, S = L2
  4. Superficie del quadrato interno, Si = (L-D)2

La probabilità che la moneta cada all’interno

p=\frac{S_i}{S}=\frac{(L-D)^2}{L^2}=...=0.55...

Moneta di Buffon

L’esperimento consiste nel lanciare una moneta su di un pavimento coperto da mattonelle quadrate.
La probabilità che la moneta tocchi il bordo di una mattonella dipende dalla dimensione (raggio) della moneta.

Per semplificare

  1. Il lato della piastrella, L=1
  2. La superficie della piastrella, S=L^2=1
  3. Il raggio della moneta, 0 \leq R \leq 1/2

La moneta non tocca il bordo se il suo centro cade a una distanza dai bordi maggiore del suo raggio, cioè se cade all’interno di un quadrato interno con

  1. Lato interno,  L_I=L-2R=1-2R
  2. Superficie del quadrato interno,  S_I=(1-2R)^2=1-4R+4R^2

La probabilità che la moneta cada all’interno è data dal rapporto tra la superficie del quadrato interno e della piastrella

P_I=\frac{S_I}{S}=1-4R+4R^2

La probabilità di toccare il bordo

 P=1-P_I=1-(1-4R+4R^2)=4R-4R^2=4R(1-R)

Teoricamente, la probabilità che la moneta tocchi il bordo della piastrella nei 3 casi in figura è

Raggio
1/8 2/8 3/8
6/8 4/8 2/8 LI
36/64 16/64 4/64 SI
28/64
0,4375
48/64
0,75
60/64
0,9375
Probabilità
teorica

Naturalmente

  • Se R \rightarrow 0 allora P \rightarrow 0
  • Se R \rightarrow 1/2 allora P \rightarrow 1

Metodo Monte Carlo

Il fenomeno viene simulato con le seguenti ipotesi

  • il centro della mattonella è (0,0)
  • le coordinate casuali del centro della moneta sono (x,y)
  • -1/2 \leq x,y\leq +1/2
  • la moneta tocca il bordo di una mattonella se |x|\geq 1/2-R oppure |y|\geq 1/2-R

Simuliamo N lanci, contando le occorrenze in cui la moneta tocca il bordo della mattonella e confrontiamo le frequenze relative con le probabilità teoriche

Raggio Numero
lanci
1/8 2/8 3/8
? ? ? 10
? ? ? 100
? ? ? 1000
? ? ? 10000
? ? ? 100000
0,4375 0,75 0,9375 Probabilità
teorica