Tag Archives: Eulero

Pi greco – Approssimazioni

Frazioni

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pi_html_m7037412 3,\overline{160493827}
pi_html_a4a7e25 3,125
pi_html_3b99718a 3,1\overline{5}
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pi_html_m15c31bf5 3,\overline{142857} Archimede
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pi_html_m2743b656 3,1416
pi_html_m2cb4b953 3,1415929… Zu Chongzhi
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Radici

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Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite somme / prodotti / frazioni


Serie

  • \displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots
    (Leibniz) Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni
  • \displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots
    (Eulero) Reciproci dei quadrati
  • \displaystyle \frac{\pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots
    Reciproci delle quarte potenze
  • \pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots
    Il numero 2 ha segno positivo
    I
    numeri primi della forma (4m – 1) hanno segno positivo
    I numeri primi della forma (4m + 1) hanno segno negativo
    P
    er i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori
  • \displaystyle \pi= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n
    (Bailey, Borwein, Plouffe) …
  • … (Ramanujan)

Produttorie

  • \displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot \frac{6\cdot 6}{4\cdot 7} \ \dots
    (Wallis) Al numeratore tutti i quadrati dei numeri pari, al denominatore il numero al denominatore meno 1
  • \displaystyle \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{13}{12}\cdot\frac{17}{16}\cdot\frac{19}{20}\cdot\frac{23}{24}\ \dots
    (Eulero) Al numeratore tutti i numeri primi dispari, al denominatore il multiplo di 4 più vicino al numeratore
  • \displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2} \right)}\,\dots (Eulero)
    Il prodotto percorre tutti i numeri primi
  • \pi=2\,\frac{2}{\sqrt{2}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\,\dots (Viète)

Frazioni continue



Codifiche: Python

Numero di Eulero – Calcolo

Calcolo approssimato di e con il limite

  • e=\lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n
  • Il limite converge al valore di e molto… lentamente.


Calcolo approssimato di e con la serie

  • \displaystyle e=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}
  • La serie converge al valore di e molto… velocemente: si ottengono 8 cifre esatte dopo pochi passi!

Pi greco – Serie…

Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite somme / prodotti / frazioni


Serie

\displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots Leibniz

Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni

\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots Eulero

Reciproci dei quadrati

\displaystyle \frac{\pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots Reciproci delle quarte potenze
\pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots
  • Il numero 2 ha segno positivo
  • i numeri primi della forma (4m – 1) hanno segno positivo
  • i numeri primi della forma (4m + 1) hanno segno negativo
  • per i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori
\displaystyle \pi= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n
Bailey, Borwein, Plouffe
Ramanujan

Produttorie

\displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n-1)}=\frac{2}{1}\frac{2}{3}\, \frac{4}{3}\frac{4}{5}\,\frac{\6}{5}\frac{6}{7}\,...=\frac{4}{3}\frac{16}{15}\frac{36}{35}\,... Wallis
\displaystyle \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\,\frac{5}{4}\,\frac{7}{8}\,\frac{11}{12}\,\frac{13}{12}\,\frac{17}{16}\,\frac{19}{20}\,\frac{23}{24}\,... Eulero

Al numeratore vi sono tutti i numeri primi dispari
Al denominatore il multiplo di quattro più vicino al numeratore

\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2} \right)}\,\dots Eulero

Il prodotto percorre tutti i numeri primi

\pi=2\,\frac{2}{\sqrt{2}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\,\dots Viète

Frazioni continue

Numero di Eulero

Wikipedia

In matematica il simbolo e denota una costante molto importante per via delle sue applicazioni in diversi campi.

Poiché e corrisponde ad un numero irrazionale (in particolare ad uno trascendente), non è esprimibile come frazione o come numero decimale periodico.

La sua espressione con 55 cifre decimali è

2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749.

In ambito internazionale il numero e è chiamato numero di Eulero, in Italia talvolta anche numero di Nepero.

Il numero di Eulero è collegato con la funzione esponenziale, che associa ad un numero reale x il numero dato dalla potenza e^x, e con la funzione logaritmo naturale (la funzione inversa dell’esponenziale).

Il numero di Eulero, come pi greco, compare in molte formule notevoli

e=\lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n

e^x=\lim_{n \rightarrow +\infty} \left(1+\frac{x}{n} \right)^n

\displaystyle e=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}

\displaystyle e^x=\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!}

e^{i x}=\cos{x}+i\sin{x}

e^{i\pi}+1=0

\frac{\partial e^x}{\partial x}=e^x

\displaystyle \int e^x\,dx=e^x+c


Imparare le cifre a memoria?



Codifica: Calc, Python



Wikipedia: E (costante matematica)