Tag Archives: Gauss

Pi greco – Approssimazioni

Frazioni

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pi_html_m7037412 3,\overline{160493827}
pi_html_a4a7e25 3,125
pi_html_3b99718a 3,1\overline{5}
pi_html_m12349de 3,14
pi_html_m15c31bf5 3,\overline{142857} Archimede
pi_html_6be393f5 3,141\overline{6}
pi_html_425aa87f 3,14163…
pi_html_m2743b656 3,1416
pi_html_m2cb4b953 3,1415929… Zu Chongzhi
pi_formule_html_3cc2929e 3,141592653589793…

Radici

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radici_html_m11462e6 3,141380652…
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radici_html_m714eb4d5 3,1415924876…
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Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite somme / prodotti / frazioni


Serie

  • \displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots
    (Leibniz) Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni
  • \displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots
    (Eulero) Reciproci dei quadrati
  • \displaystyle \frac{\pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots
    Reciproci delle quarte potenze
  • \pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots
    Il numero 2 ha segno positivo
    I
    numeri primi della forma (4m – 1) hanno segno positivo
    I numeri primi della forma (4m + 1) hanno segno negativo
    P
    er i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori
  • \displaystyle \pi= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n
    (Bailey, Borwein, Plouffe) …
  • … (Ramanujan)

Produttorie

  • \displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{2\cdot 2}{1\cdot 3}\cdot \frac{4\cdot 4}{3\cdot 5}\cdot \frac{6\cdot 6}{4\cdot 7} \ \dots
    (Wallis) Al numeratore tutti i quadrati dei numeri pari, al denominatore il numero al denominatore meno 1
  • \displaystyle \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{11}{12}\cdot\frac{13}{12}\cdot\frac{17}{16}\cdot\frac{19}{20}\cdot\frac{23}{24}\ \dots
    (Eulero) Al numeratore tutti i numeri primi dispari, al denominatore il multiplo di 4 più vicino al numeratore
  • \displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2} \right)}\,\dots (Eulero)
    Il prodotto percorre tutti i numeri primi
  • \pi=2\,\frac{2}{\sqrt{2}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\,\dots (Viète)

Frazioni continue



Codifiche: Python

Problemino di Gauss

Quanto vale la somma dei numeri da 1 a 100?


Soluzione 1

Svolgi 99 noiosissime addizioni…


Soluzione 2

Traduci la tabella precedente in un foglio di calcolo!


Soluzione 3

Traduci la tabella precedente in un programma per il computer!


Soluzione 4

Da Wikipedia: Carl Friedrich Gauss

Gauss era un bambino prodigio.
Esistono diversi aneddoti riguardo alla sua precocità; per esempio, Gauss, almeno secondo la leggenda, all’età di tre anni avrebbe corretto un errore del padre nel calcolo delle sue finanze.

Un altro aneddoto, forse più verosimile, racconta che a nove anni di età, quando andava a scuola, il suo insegnante, J.G. Büttner, per mettere a tacere i turbolenti allievi, ordinò loro di fare la somma di tutti i numeri da 1 a 100.
Poco dopo, il giovanissimo Carl diede per primo la risposta esatta, sorprendendo l’insegnante ed il suo assistente Martin Bartels.
Non si è certi di quale metodo abbia adottato Gauss per risolvere il problema; presumibilmente, egli si era accorto che, mettendo in una riga tutti i numeri da 1 a 100 e nella riga sottostante i numeri da 100 a 1, ogni colonna dava come somma 101: Carl fece dunque il prodotto 100×101 e divise per 2, ottenendo facilmente il risultato.

Quindi

e infine

\frac{100 \times101}{2}=5050


Si può dimostrare effettivamente che la progressione aritmetica di ragione 1 ha come somma

1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}



Codifica: Python

Pi greco – Formule

Dato un cerchio qualsiasi

C=2\pi r \rightarrow \pi=\frac{C}{2r}

o meglio

C=\pi D \rightarrow \pi=\frac{C}{D}
Pi greco è il rapporto tra la circonferenza e il diametro

Analogamente

A=\pi r^2  \rightarrow \pi = \frac{A}{r^2}
A=\pi \frac{D^2}{4} \rightarrow \pi=\frac{4 A}{D^2}

Formule simili si possono ricavare da sfera, cilindro, cono, ellisse, …


Integrali definiti

\displaystyle\int_{-\infty}^{-\infty}\,e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi} (Gauss)

 \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-\frac{x^2}{2}}\,dx=\sqrt{2\pi} (Eulero)

\displaystyle\int_{-\infty}^{-\infty}\cos{(x^2)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2} (Fresnel)

\displaystyle\int_{-\infty}^{-\infty}\sin{(x^2)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2} (Fresnel)

\displaystyle\int_{-\infty}^{-\infty}\,\frac{1}{1+x^2}\,dx=\pi

\displaystyle\int_{0}^{1}\,\frac{1}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{4}

\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\,\frac{\sin{x}}{x}\,dx=\pi


La costante pi greco si ritrova in tutte le scienze applicate…

T=2\pi\,\sqrt{\frac{l}{g}}
Periodo di oscillazione del pendolo

f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 {\sigma}^2}}
Funzione di densità di probabilità: distribuzione normale