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Pi greco – Serie…

Pi greco può essere catturato ricorrendo a infinite somme / prodotti / frazioni


Serie

\displaystyle \frac{\pi}{4}=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n \frac{1}{2n+1}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\dots Leibniz

Reciproci dei numeri dispari, con segni alterni

\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\dots=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\dots Eulero

Reciproci dei quadrati

\displaystyle \frac{\pi^4}{90}=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^4}=\frac{1}{1^4}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\dots=1+\frac{1}{16}+\frac{1}{81}+\dots Reciproci delle quarte potenze
\pi=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}+\frac{1}{11}+\frac{1}{12}-\frac{1}{13}+\dots
  • Il numero 2 ha segno positivo
  • i numeri primi della forma (4m – 1) hanno segno positivo
  • i numeri primi della forma (4m + 1) hanno segno negativo
  • per i numeri composti il segno è il prodotto dei segni dei singoli fattori
\displaystyle \pi= \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right) \left(\frac{1}{16}\right)^n
Bailey, Borwein, Plouffe
Ramanujan

Produttorie

\displaystyle \frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{+\infty}\frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n-1)}=\frac{2}{1}\frac{2}{3}\, \frac{4}{3}\frac{4}{5}\,\frac{\6}{5}\frac{6}{7}\,...=\frac{4}{3}\frac{16}{15}\frac{36}{35}\,... Wallis
\displaystyle \frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\,\frac{5}{4}\,\frac{7}{8}\,\frac{11}{12}\,\frac{13}{12}\,\frac{17}{16}\,\frac{19}{20}\,\frac{23}{24}\,... Eulero

Al numeratore vi sono tutti i numeri primi dispari
Al denominatore il multiplo di quattro più vicino al numeratore

\displaystyle \frac{\pi^2}{6}=\frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^2} \right)}\,\frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^2} \right)}\,\dots Eulero

Il prodotto percorre tutti i numeri primi

\pi=2\,\frac{2}{\sqrt{2}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}\,\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\,\dots Viète

Frazioni continue