2005-11-18 – 12

In un allevamento di bovini bisogna selezionare il più leggero fra 4 capi, avendo a disposizione un unico tipo di bilancia che, date due coppie di bovini, indica la coppia più leggera (si assuma che non esistano due coppie di bovini dello stesso identico peso).

Nota bene: la bilancia non permette di confrontare il peso di due bovini fra loro e non fornisce il peso di una coppia di bovini.

Dire quale delle seguenti affermazioni è vera:

  1. 2 pesate sono sempre sufficienti
  2. 2 pesate non sono sempre sufficienti e 3 pesate sono sempre sufficienti
  3. ci sono casi in cui questo tipo di bilancia non permette di trovare il bovino più leggero.

Soluzione: c.


Soluzione #1

Possono esserci casi in cui è possibile selezionare il bovino più leggero con tre pesate.
Ci sono, però, casi in cui l’intersezione è vuota e non è possibile selezionare il più leggero.

Si pensi ai due seguenti casi che danno gli stessi risultati nelle pesate:

  • bovino A=7
  • bovino B=8
  • bovino C=10
  • bovino D=20

e

  • bovino A=8
  • bovino B=7
  • bovino C=10
  • bovino D=20.

Per questo motivo la risposta corretta è c).


Soluzione #2

Chiamiamo i quattro bovini B1, B2, B3, B4 e per ogni bovino Bi indichiamo con P(Bi) il suo peso.

Per ipotesi del problema nessuno ha peso uguale ad un altro possiamo quindi assumere senza perdere di generalità che P(B1) > P(B2) > P(B3) > P(B4).

L’allevatore dovrà confrontare i pesi delle varie coppie.

Immaginiamo ora che il peso del bovino più grande sia decisamente più grande rispetto agli altri, ad esempio che pesi 30 Kg, mentre gli altri pesano rispettivamente 11 kg, 10 Kg e 9 Kg.

Visto che P(B1) >P(Bi)+P(Bj), per ogni i, j con 2 <= i, j <= 4 avremo che in qualsiasi pesata, qualunque sia il bovino che mettiamo con B1, avremo che il peso della coppia con B1 sarà maggiore di qualsiasi altra.

Avremo quindi che P(B1)+P(Bi) > P(Bj)+P(Bk) per ogni 2 <= i, j, k <= 4.

Non possiamo quindi in questo caso sapere qual è il bovino più leggero, ma solo sapere il bovino più pesante.