OII 2008-12-04 – 10

Aldo, Bruno, Carlo e Dario vanno al cinema, dove occuperanno quattro posti consecutivi nella stessa fila.

In quanti modi possono sedersi, tenuto conto del fatto che Aldo e Bruno non si sopportano e pertanto non possono stare seduti vicini?

Risposte:

1. 6
2. 9
3. 12
4. nessuna delle precedenti.

Risposta: c (12).

Soluzione #1

Nel seguito indichiamo Aldo, Bruno, Carlo e Dario con le lettere A, B, C, D rispettivamente.
Con riferimento alla figura successiva Aldo e Bruno possono occupare: i posti I e III, oppure II e IV, oppure I e IV.

I	II	III	IV
???	???	???	???

Nel primo caso possiamo avere le quattro sequenze ACBD, ADBC, BCAD, BDAC: infatti A e B possono ruotare in due modi nei due posti fissati I e III, e C e D in due modi, nei due posti rimanenti, in corrispondenza di ciascuna sistemazione di A e B.
Pertanto il numero sequenze possibili è 2*2=4.

Se ripetiamo il ragionamento per le altre due possibilità di sistemare A e B (posti II e IV, oppure I e IV) ricaviamo in entrambi i casi altre 4 sequenze possibili.
Quindi A, B, C e D possono sedersi, senza che A e B siano vicini, in 3*4=12 modi diversi.

Soluzione #2

Tratta da: Materiale didattico 2012

Soluzione intuitiva

Le posizioni possibili avranno una delle seguenti 6 strutture in cui Aldo (A) e Bruno (B) non sono vicini:

• AXYB
• AXBY
• XAYB
• BXYA
• BXAY
• XBYA

dove X e Y stanno per due posti vuoti che possono essere occupati indifferentemente dalla coppia (Carlo, Dario) o (Dario,Carlo).
Quindi in totale si hanno 6*2 posizioni possibili.
La risposta corretta è la c).

Soluzione esaustiva

Le posizioni possibili sarebbero 24 quelle in cui A e B sono vicini sono 12.
Posizioni possibili (permutazioni di 4 lettere senza ripetizione)

• ABCD – ABDC – ACBD – ACDB – ADBC – ADCB
• BACD – BADC – BCAD – BCDA – BDAC – BDCA
• CABD – CADB – CBAD – CBDA – CDAB – CDBA
• DABC – DACB – DBAC – DBCA – DCAB – DCBA

Togliendo quelle barrate, in cui A e B sono vicini ne rimangono 12.
La risposta corretta è quindi la c).