Siano P, Q, R, S quattro variabili booleane, ossia variabili che possono assumere solo uno dei due valori 1 (VERO) e 0 (FALSO).
Ricordiamo che gli operatori booleani sono:
- not A, che si indica con ¬A, vale VERO se A è FALSO, e FALSO se A è VERO;
- A and B, che si indica con A ∧ B, vale VERO se sia A sia B sono VERO, e FALSO in tutti gli altri casi;
- A or B, che si indica con A ∨ B, vale FALSO se sia A sia B sono FALSO, e VERO in tutti gli altri casi.
In assenza di parentesi l’ordine di valutazione degli operatori è quello sopra riportato (prima il not, poi l’and, infine l’or).
Si consideri la seguente espressione logica:
(P∧Q)∧(R∧S)∨(¬P∧Q)
Quale delle seguenti espressioni logiche non è equivalente a quella riportata qui sopra?
Con equivalente si intende che assume gli stessi valori in funzione dei valori delle variabili booleane P, Q, R e S.
- (P∧Q)∧(R∧S)∨¬(P∨¬Q)
- ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)
- ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)∧(R∨¬R)
- (¬P∨¬Q)∧(R∧S)∨¬(P∨¬Q)
Soluzione 1
Considera la tabella di verità di ogni espressione
1 2 3 4 5 6 7 |
+------+---+---+---+---+---+ | PQRS | E | 1 | 2 | 3 | 4 | +------+---+---+---+---+---+ | 0000 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0001 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0010 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | | 0011 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | La 4° espressione non è equivalente |
Soluzione 2
Elabora le espressioni (tramite le regole dell’algebra di Boole) finché si assomigliano tutte tranne una
(1): (P∧Q)∧(R∧S)∨(¬P∧Q)
= (P∧Q)∧(R∧S)∨¬P ∧ (P∧Q)∧(R∧S)∨Q : (2)
(3): ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)∧(R∨¬R)
= ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q)∧1
= ((P∧Q)∧(R∧S)∨¬P)∧((P∧Q)∧(R∧S)∨Q) : (2)
quindi rimane la 4°…