Seconda prova – MAT

2001 – P2 – PNI

c) Si determini, applicando uno dei metodi numerici studiati, un’approssimazione della intersezione positiva di Γ con l’asse x.

2001 – 2 – PNI

Determinare il numero delle soluzioni dell’equazione xe^x+xe^{-x}-2=0.

2001 – 6

Dimostrare che si ha {n \choose k} ={n-1 \choose k} +{n-1 \choose k-1}  dove n, k sono numeri naturali qualsiasi, con n > k > 0.

2001 – 6 – PNI

Con uno dei metodi di quadratura studiati, si calcoli un’approssimazione dell’integrale definito \displaystyle \int_{0}^\pi\, \sin{x}\,dx e si confronti il risultato con il valore esatto dell’integrale.

2001 – 7 – PNI

Verificato che l’equazione 2001-7 ammette una sola radice positiva compresa tra 0 e 1 se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

2001 – 8 – PNI

Una classe è composta da 12 ragazzi e 4 ragazze.
Tra i 16 allievi se ne scelgono 3 a caso: qual è la probabilità che essi siano tutti maschi?

2002 – P1 – PNI

2002 – P2 – PNI

2002 – 1 – PNI

Se a e b sono numeri positivi assegnati qual è la loro media aritmetica?
Qual è la media geometrica?
Quale delle due è più grande? E perché?
Come si generalizzano tali medie se i numeri assegnati sono n?

2002 – 2 – PNI

Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610-1685), amico di Blaise Pascal: “giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”

2002 – 3 – PNI

Assumendo che i risultati X, 1, 2 delle 13 partite di Totocalcio siano equiprobabili, calcolare la probabilità che tutte le partite, eccetto una, terminino in parità.

2002 – 4

Si consideri…

2003 – 1 – PNI

Quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18 squadre?

2003 – 2 – PNI

Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose.
A contiene 2000 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene 1000 con il 10% difettose.
Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada.
Qual è la probabilità che essa sia difettosa?

2003 – 4 – PNI

Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2 quattro volte.

2003 – 5

La funzione 2x^3-3x^2+2 ha un solo zero reale, vale a dire che il suo grafico interseca una sola volta l’asse delle ascisse.
Fornire un’esauriente dimostrazione di questo fatto e stabilire se lo zero della funzione è positivo o negativo.

2003 – 6 – PNI

Si vuole che l’equazione x^3+bx-7=0 abbia 3 radici reali.
Qual è un possibile valore di b?

2003 – 7 – PNI

Verificare l’uguaglianza \displaystyle \pi=4\int_{0}^1\, \frac{1}{1+x^2}\,dx e utilizzarla per calcolare un’approssimazione di pi greco, applicando un metodo di integrazione numerica.

2003 – 9

Si consideri una data estrazione in una determinata Ruota del Lotto.
Calcolare quante sono le possibili cinquine che contengono i numeri 1 e 90.

2003 – 10 – PNI

Verificare che l’equazione 2003-10 ammette tre radici reali.
Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne calcoli un’approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.

2003 – P2 – PNI

… si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti …

2004 – P1 – PNI

2004 – P2 – PNI

2004 – 4

Dimostrate che l’equazione e^x+3x=0 ammette una e una sola soluzione reale.

2004 – 4 – PNI

Dati gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c} quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

2004 – 9 – PNI

Si dimostri che l’equazione 2004-9 ammette una e una sola soluzione e se ne calcoli un valore approssimato utilizzando un metodo iterativo a scelta.

2004 – 10

Considerate gli insiemi A={1,2,3,4} e B={a,b,c}; quante sono le applicazioni (le funzioni) di A in B?

2005 – P2
2005 – P2 – PNI

2005 – 6

Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?

2005 – 7

Se f(x)=x^4-4x^3+4x^2+3, per quanti numeri reali k è f(k)=2?
Si illustri il ragionamento seguito.

2005 – 7 – PNI

Come si definisce n! (n fattoriale) e quale ne è il significato nel calcolo combinatorio?
Qual è il suo legame con i coefficienti binomiali? Perché?

2005 – 9 – PNI

Quale è la probabilità di ottenere 10 lanciando 2 dadi?
Se i lanci vengono ripetuti quale è la probabilità di avere due 10 in sei lanci?
E quale è la probabilità di avere almeno due 10 in sei lanci?

2005 – 10 – PNI

Il 40% della popolazione di un Paese ha 60 anni o più.
Può l’età media della popolazione di quel Paese essere uguale a 30 anni?
Si illustri il ragionamento seguito per dare la risposta.

2006 – 4 – PNI

Si dimostri che l’equazione \sin x=x-1 ha una e una sola radice α e, utilizzando una calcolatrice tascabile, se ne dia una stima.
Si descriva altresì una procedura di calcolo che consenta di approssimare α con la precisione voluta.

2006 – 5
2006 – 5 – PNI

Si dimostri che la somma dei coefficienti dello sviluppo di (a+b)^n è uguale a 2^n per ogni n \in \mathbb{N}.

2006 – 7 – PNI

Bruno de Finetti (1906-1985), tra i più illustri matematici del secolo scorso, del quale ricorre quest’anno il centenario della nascita, alla domanda «che cos’è la probabilità?» era solito rispondere: «la probabilità non esiste!».
Quale significato puoi attribuire a tale risposta? È possibile collegarla a una delle diverse definizioni di probabilità che sono state storicamente proposte?

2006 – 8 – PNI

Un tiratore spara ripetutamente a un bersaglio; la probabilità di colpirlo è di 0,3 per ciascun tiro.
Quanti tiri deve fare per avere probabilità ≥0,99 di colpirlo almeno una volta?

2006 – 10 – PNI

Tenuto conto che \displaystyle \frac{\pi}{4}=\int_{0}^1\, \frac{dx}{1+x^2} calcola un’approssimazione di π utilizzando uno dei metodi di integrazione numerica studiati.

2007 – 6

Si sa che il prezzo p di un abito ha subito una maggioranza del 6% e, altresì, una diminuzione del 6%; non si ha ricordo, però, se sia avvenuta prima l’una o l’altra delle operazioni.
Che cosa si può dire del prezzo finale?

2007 – 6 – PNI

Si scelga a caso un punto P all’interno di un triangolo equilatero il cui lato ha una lunghezza 3.
Si determini la probabilità che la distanza di P da ogni vertice sia maggiore di 1.

2007 – 8

Si risolva l’equazione: 4{n \choose 4} =15{n-2 \choose 3}.

2007 – 8 – PNI

A Leonardo Eulero (1707-1783), di cui quest’anno ricorre centenario della nascita, si deve il seguente problema: «Tre gentiluomini giocano insieme: nella prima partita il primo perde, a favore degli altri due, tanto denaro quanto ne possiede ciascuno di loro. Nella successiva, il secondo gentiluomo perde a favore di ciascuno degli altri due tanto denaro quanto essi già ne possiedono. Da ultimo, nella terza partita, il primo e il secondo guadagnano ciascuno dal terzo gentiluomo tanto denaro quanto ne avevano prima. A questo punto smettono e trovano che ciascuno ha la stessa somma, cioè 24 luigi.
Si domanda con quanto denaro si sedette a giocare».

2008 – P1 – PNI

2008 – P2 – PNI

2008 – 1 – PNI

Siano dati un cono equilatero e la sfera in esso inscritta.
Si scelga a caso un punto all’interno del cono.
Si determini la probabilità che tale punto risulti esterno alla sfera.

2008 – 6

Se {n \choose 1}, {n \choose 2}, {n \choose 3}, con n>3, sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

2008 – 9 – PNI

In una classe composta da 12 maschi e 8 femmine, viene scelto a caso un gruppo di 8 studenti.
Qual è la probabilità che, in tale gruppo, vi siano esattamente 4 studentesse.

2009 – P2 – PNI

2009 – 3 – PNI

Una moneta da 2 euro (il suo diametro è di 25,75 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle quadrate di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati dei quadrati)?

2009 – 6 – PNI

Con l’aiuto di una calcolatrice, si applichi il procedimento iterativo di Newton all’equazione \sin x = 0, con punto iniziale x_0=3.
Cosa si ottiene dopo due iterazioni?

2009 – 7
2009 – 7 – PNI

Si dimostri l’identità {n \choose k+1} ={n \choose k}\frac{n-k}{k+1} dove n e k naturali e n > k.

2009 – 8

Si provi che l’equazione x^{2009}+2009x+1=0 ha una radice compresa fra -1 e 0.

2009 – 8 – PNI

Alla festa di compleanno di Anna l’età media dei partecipanti è di 22 anni.
Se l’età media degli uomini è 26 anni e quella delle donne è 19, qual è il rapporto tra il numero degli uomini e quello delle donne?

2010 – P2 – PNI

2010 – 4 – PNI

Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione f(x)=\sqr[3]{x}+x^3-1.
Come si può essere certi che esiste un unico zero?

2010 – 7 – PNI

Per la ricorrenza della festa della mamma, la sig.ra Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina.
La sig.ra Anna è una delle invitate e perciò ha almeno una figlia femmina.
Durante la cena, la sig.ra Anna dichiara di avere esattamente due figli.
Si chiede: qual è la probabilità che anche l’altro figlio della sig.ra Anna sia femmina?
Si argomenti la risposta.

2010 – 8
2010 – 8 – PNI

Se n>3 e {n \choose n-1},\ {n \choose n-2},\ {n \choose n-3} sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n?

2011 – P1 – PNI

2011 – P2 – PNI

2011 – 4
2011 – 4 – PNI

Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n.

2011 – 7

Si provi che l’equazione x^{2011}+2011x+12=0 ha una sola radice fra -1 e 0.

2011 – 7 – PNI

Un test d’esame consta dieci domande, per ciascuna delle quali si deve scegliere l’unica risposta corretta fra quattro alternative.
Qual è la probabilità che, rispondendo a caso alle dieci domande, almeno due risultino corrette?

2011 – 8 – PNI

In cosa consiste il problema della quadratura del cerchio?

2012 – P2 – PNI

2012 – 2 – PNI

Una moneta da 1 euro (il suo diametro è di 23,25 mm) viene lanciata su un pavimento ricoperto con mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm.
Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente a una mattonella (cioè non tagli i lati degli esagoni)?

2012 – 5
2012 – 5 – PNI

Siano dati nello spazio n punti P1, P2, P3, …, Pn.
Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due?
Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)?
Quanti i tetraedri (supposta che nessuna quaterna sia complanare)?

2012 – 8 – PNI

Un’azienda industriale possiede tre stabilimenti (A, B e C).
Nello stabilimento A si produce la metà dei pezzi e di questi il 10% sono difettosi.
Nello stabilimento B si produce un terzo dei pezzi, e il 7% sono difettosi.
Nello stabilimento C si producono i pezzi rimanenti, e il 5% sono difettosi.
Sapendo che un pezzo è difettoso, con quanta probabilità esso proviene dallo stabilimento A?

2013 – 5

In un libro si legge: “Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano conto che a un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% oppure del 25%) corrispondano aumenti di capacità (volume) di circa il 33% (oppure 75% oppure 100%: raddoppio)”.
È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

2013 – 5 – PNI

In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1,14%) mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè del 0,76%)”.
È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

2013 – 6
2013 – 6 – PNI

Con le cifre da 1 a 7…

2013 – 7 – PNI

In un gruppo di 10 persone il 60% ha gli occhi azzurri.
Dal gruppo si selezionano a caso due persone.
Qual è la probabilità che nessuna di esse abbia occhi azzurri?

2013 – 10 – PNI

Si stabilisca per quali valori k\in\mathbb{R} l’equazione x^2(3-x)=k ammette due soluzioni distinte appartenenti all’intervallo [0; 3].
Posto k=3, si approssimi con 2 cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.

2014 – 3

Nello sviluppo di \left(2a^2-3b^3 \right)^n compare il termine -1080a^4b^9.
Qual è il valore di n?

2014 – 3 – PNI

Venti palline sono poste in un’urna.
Cinque sono rosse, cinque verdi, cinque gialle e cinque bianche.
Dall’urna si estraggono a caso, senza reimbussolamento, tre palline.
Si valutino le seguenti probabilità: esattamente una pallina è rossa; le tre palline sono di colori differenti.

2014 – 5

Dei numeri 1,2,3,…,6000, quanti non sono divisibili né per 2, né per 3, né per 5?

2014 – 7 – PNI

Se f\prime(x)=\ln x-x+2, per quale dei seguenti valori approssimanti di x, f ha un minimo relativo?

  • A=5,146
  • B=3,146
  • C=1,000
  • D=0,159
  • E=0

2014 – 8 – PNI

La zara è un gioco d’azzardo di origine araba che conobbe particolare fortuna in Italia in epoca medievale – ne parla anche Dante nella Divina Commedia – e si giocava con tre dadi.
Si confronti la probabilità di ottenere in un lancio la somma 9 con quella di ottenere la somma 10.

2015 – 3 – PNI

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa “al più” due volte?
Qual è la probabilità che si ottenga testa “almeno” due volte?

2015 – 8 – PNI

I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm, 6 cm e 5 cm.
Preso a caso un punto P all’interno del triangolo, qual è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo?

2016 – 4 – PNI

Un test è costituito da 10 domande a risposta multipla, con 4 possibili risposte di cui solo una è esatta.
Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande.
Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?

2016 – 7 – PNI

Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura.
Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa.
Scelto casualmente un percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d’angolo opposta A, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B?

RISORSE

  1. La seconda prova di matematica (Zanichelli.it)
  2. Risoluzione dei temi di Matematica assegnati all’esame di Stato di Liceo scientifico nella 2^ prova scritta
  3. Esame di Stato (Math.it)
  4. Esame di Stato (Istruzione.it)