2018-11-15 – 18

Alice e Bob si stanno scambiano messaggi cifrati e Hack ha intercettato un messaggio: “GONSIUZMS ITTO VZGO”
Hack ha scoperto che Alice e Bob usano il cifrario di Cesare (traslano l’alfabeto italiano di una costante k, per es. se k=1 A diventa B, B diventa C, e così via fino a Z che diventa A).
Alfabeto: A, B, C, D, E, F, G, H, I, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, Z.
Trova la costante k, per rispondere alla seguente domanda: quale è il messaggio MESS scambiato da Alice e Bob?

Soluzione

Per tentativi

Con k=8 appare il messaggio originale…

OII 2018-11-15

1

Hai prestato un libro al tuo amico Giulio, ma, quando te lo ha riportato, mancavano le pagine 7, 8, 100, 101, 222 e 223.

Qual è il minimo numero NUMFOGLI di fogli che ha strappato?

2

Data la seguente “scacchiera mutilata”, dire qual è il numero NUMPOS di posizioni diverse in cui è possibile inserire la tesserina a lato.

Esempi corretti di inserimento della tesserina:

3

Giulia, da quando ha imparato le percentuali a scuola, parla soltanto esprimendo ogni valore quantitativo mediante percentuale. Sappiamo che:

  • la scuola ha comprato una cassa da 3kg (lordi) di mele;
  • la tara era il 20%;
  • ogni scolaro poteva mangiare lo 0,8% del peso netto delle mele;
  • Giulia, amica della bidella, ha ricevuto il 200% della razione degli altri.

La mamma di Giulia, che non era molto brava a scuola, vorrebbe capire quanti chilogrammi di mele ha mangiato sua figlia in mensa:

  1. 48/625 kg
  2. 24/625 kg
  3. 3/625 kg
  4. 6/625 kg

4

Le due sorelle Anna e Zoe quando vogliono parlare dei loro segreti fanno questo gioco: hanno tre scalini sul portico di casa e, a seconda dello scalino sul quale si trovano, devono dire la verità o una bugia.

  • Anna sale sul primo gradino ed afferma: “La mia bicicletta non è rotta”.
  • Zoe sale sul secondo gradino e dice: “La tua bicicletta l’ho rotta io”.
  • Anna sale di un gradino e dice: “Tu hai rotto la mia bici”.
  • Zoe sale ancora di uno scalino e replica: “La tua bicicletta è rotta”.

Sapendo che c’è esattamente un gradino dove viene detta la verità scegliere quale tra le seguenti affermazioni è sbagliata:

  1. Due tra le seguenti affermazioni sono corrette
  2. “Gradino 1 -> verità” è una scelta che non genera contraddizioni
  3. “Gradino 3 -> verità” è una scelta che non genera contraddizioni
  4. “Gradino 2 -> verità” è una scelta che non genera contraddizioni

5

La differenza simmetrica di due insiemi A e B è l’insieme A Δ B = (A ∪ B) – (A ∩ B), dove ∪ è il simbolo dell’unione insiemistica, mentre ∩ è il simbolo dell’intersezione.

Se A e B sono i due insiemi seguenti:

  • A = {2 ≤ x ≤ 30 : x ≡ 2 (mod 7)}, dove x ≡ 2 (mod 7) significa che x dà resto 2 se diviso per 7
  • B = {2 ≤ x ≤ 20 : x non è primo}

Quali sono gli elementi contenuti nell’insieme INS = A Δ B ?


13

Nel palacongressi di Audiola ci sono quattro casse acustiche che indichiamo con i numeri 1, 2, 3 e 4. A ogni spettatore sn è associato un vettore di 4 componenti (numeri naturali) che ne esprime la distanza dalle 4 casse. Lo spettatore sente cosa riproduce la cassa i se e solo se l’i-esima componente del suo vettore è minore di i².

Le casse regolano il proprio volume in base ad una semplice regola: ciò che viene riprodotto da una cassa non può essere udito da più di 3 spettatori contemporaneamente. Ciascuno spettatore può invece sentire anche da più di una cassa. Il totale di spettatori è 15, dei quali precisamente 4 non sentono alcun suono. Dei 3 spettatori s13, s14, s15 il vettore è ignoto e deve essere ricostruirlo, mentre gli altri sono:

  • s1 -> (1, 4, 3, 4)
  • s2 -> (14, 25, 17, 19)
  • s3 -> (18, 21, 38, 17)
  • s4 -> (1, 4, 9, 16)
  • s5 -> (0, 5, 10, 17)
  • s6 -> (0, 15, 36, 23)
  • s7 -> (1, 6, 10, 15)
  • s8 -> (2, 2, 10, 16)
  • s9 -> (3, 3, 11, 17)
  • s10 -> (0, 15, 16, 17)
  • s11 -> (1, 5, 8, 19)
  • s12 -> (1, 5, 7, 44)

Quale delle seguenti ipotesi di vettori per i tre spettatori restanti NON è possibile?

  1. s13 -> (1, 5, 10, 17)
    s14 -> (1, 3, 10, 23)
    s15 -> (1, 7, 15, 15)
  2. s13 -> (2, 6, 11, 18)
    s14 -> (1, 3, 10, 24)
    s15 -> (1, 7, 15, 14)
  3. s13 -> (0, 4, 9, 16)
    s14 -> (1, 3, 10, 25)
    s15 -> (1, 7, 15, 13)
  4. s13 -> (3, 7, 12, 19)
    s14 -> (1, 3, 10, 26)
    s15 -> (1, 7, 15, 12)

14

Elon Musk si sta organizzando per andare su Marte con la sua famiglia. Tuttavia, per minimizzare i rischi, la navicella porta al massimo una persona (oltre al pilota). Le richieste da parte della famiglia di Elon sono:

  • Maye (la mamma di Elon) guarda il panorama e non vuole metterci meno di 20 giorni;
  • Errol (il papà di Elon) non ha nessuna paura della velocità ed è anche in grado di pilotare la navicella. Impiega 1 giorno a raggiungere Marte dalla Terra e viceversa;
  • Kimbal (fratello di Elon) sa guidare la navicella, ma non a una velocità troppo elevata, quindi, se guida, ci mette almeno 40 giorni;
  • Tosca (sorella di Elon) non vuole impiegare meno di 25 giorni per il viaggio.

Sapendo che Elon sa guidare la navicella e si rifiuta di raggiungere velocità stratosferiche, in particolare non vuole che il viaggio duri meno di 15 giorni, qual è il tempo minimo Tmin perché tutta la famiglia di Elon arrivi su Marte?

15

Il caveau di una banca è protetto da una password che può essere digitata su un tastierino numerico di 10 cifre (da 0 a 9). La cassaforte è dotata di 4 luci di colore diverso che hanno il seguente comportamento:

  • GIALLO: finora tutto OK, proseguire pure;
  • BLU: mancano tante cifre quante quelle già inserite;
  • ROSSO: è stato commesso un errore: ricominciare dall’inizio;
  • VERDE: combinazione corretta, apertura porta in corso.

Eve vuole svaligiare la banca e ha accumulato le seguenti informazioni sui tentativi di apertura del caveau da parte dei dipendenti:

  1. CIFRA (ignota) – luce gialla; CIFRA (ignota) – luce gialla; CIFRA (ignota) – luce blu; CIFRA (7) – luce gialla; CIFRA (8) – luce gialla; CIFRA (ignota) – non vede la luce
  2. CIFRA (ignota) – luce gialla; CIFRA (ignota) – luce gialla; CIFRA (7) – luce rossa
  3. CIFRA (ignota) – luce gialla; CIFRA (7) – luce rossa
  4. CIFRA (2) luce gialla – CIFRA (ignota) – luce gialla; CIFRA (3) – luce blu; CIFRA (4) – luce rossa

Quale tra le seguenti affermazioni di Eve è l’unica corretta?

  1. La password potrebbe contenere più di 6 caratteri
  2. La password contiene non contiene cifre 7
  3. La password contiene come prima cifra 2
  4. La password non contiene cifre pari

16

In una scuola nel giorno della memoria vengono proiettati 5 diversi film fn legati alla seconda guerra mondiale e gli studenti sm delle varie classi votano per scegliere quale film guardare.

Una classe va a vedere un film se:

  • non più di 3 studenti sono contrari a quel film e
  • fra i film che rimangono, il numero di studenti interessati al film è massimo e
  • fra i film che rimangono, il numero di studenti contrari è minimo.

Le preferenze espresse dagli studenti della classe IIA sono le seguenti:

  • Associazioni positive (studenti favorevoli): (s1,f1) (s2,f2) (s3,f1) (s4,f2) (s5,f1) (s6,f3) (s7,f1)
  • Associazioni negative (studenti contrari): (s7,f1) (s8,f1) (s3,f1) (s4,f2) (s5,f4) (s6,f1) (s3,f2) (s6,f2) (s12,f3) (s11,f2) (s9,f5)

Quale è il codice IDFILM del film che andrà a vedere la classe IIA?

17

Nel mondo del Wumpus un guerriero vuole raggiungere il tesoro. Ma c’è un nemico da evitare: il Wumpus. Il Wumpus è invisibile e il guerriero può solo percepire la sua presenza dalla puzza che emana.

Se la puzza si trova in posizione (x,y) questo significa che il Wumpus si può trovare in una delle quattro posizioni (x+1,y) (x-1,y) (x,y+1) (x,y-1). Il guerriero non vuole rischiare di incontrare il Wumpus (quindi evita le caselle adiacenti alla puzza), si può muovere in alto, in basso, a destra e a sinistra, ma non in diagonale. Sapendo che un percorso viene indicato come una successione di coppie lettera-numero (per es.: A1 B1 C1) scrivere il percorso più breve PERCBRE che deve fare il guerriero per arrivare al tesoro.

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Alice e Bob si stanno scambiano messaggi cifrati e Hack ha intercettato un messaggio: “GONSIUZMS ITTO VZGO”

Hack ha scoperto che Alice e Bob usano il cifrario di Cesare (traslano l’alfabeto italiano di una costante k, per es. se k=1 A diventa B, B diventa C, e così via fino a Z che diventa A).

Alfabeto: A, B, C, D, E, F, G, H, I, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, Z.

Trova la costante k, per rispondere alla seguente domanda: quale è il messaggio MESS scambiato da Alice e Bob?

19

La grafica della tartaruga prevede che si possano impartire degli ordini di movimento a una tartaruga, che li eseguirà lasciando sul terreno una traccia dei suoi movimenti, come se avesse una penna attaccata sulla pancia.
Gli ordini possono essere impartiti tramite un semplice linguaggio, stando attenti che:

  • le istruzioni destra e sinistra sono relative all’orientamento attuale della tartaruga, e il numero che segue è un angolo di rotazione (rispettivamente orario e antiorario) espresso in gradi;
  • le istruzioni pennasu e pennagiu sollevano e abbassano rispettivamente la penna sotto la pancia della tartaruga: quando la penna è sollevata ovviamente non lascia tracce sul terreno;
  • l’istruzione ripeti fa ripetere il blocco che segue, delimitato da parentesi graffe, per un numero di volte indicato a fianco dell’istruzione.

Inizialmente la tartaruga si trova nel vertice A, guarda in alto a destra ed è nella condizione pennagiu.
La misura dei lati è AB = a, BH = c, GH = b.
Il programmatore della tartaruga è stato però interrotto nel suo lavoro prima di poter scrivere le ultime due istruzioni ISTR18 e ISTR19 necessarie perché la tartaruga completi il disegno (il famoso grafo di Petersen).
Scrivere le due istruzioni mancanti.

20

Quando Ermelinda, la moglie di Armando, ha deciso di cambiare l’arredamento di casa ha costretto il marito a effettuare il montaggio delle mensole.
Per fissare le mensole al muro, Armando segue questa procedura: per ogni foro per prima cosa ne fa uno molto piccolo (4mm) per poi ingrandirlo (a 8mm). Ogni volta che cambia la punta del trapano (per effettuare fori di diversa dimensione) Armando perde un sacco di tempo, quindi preferisce fare prima tutti i fori piccoli per poi ingrandirli.
Armando è anche molto attento a non sporcare casa con la polvere di mattone e utilizza la cosiddetta “tasca”, ossia un cono di carta di giornale attaccato al muro (sotto il foro) grazie a un pezzo di scotch. A ogni spostamento della tasca, però, lo scotch diventa meno adesivo, quindi l’obiettivo di Armando è quello di effettuare tutti i fori spostando il minor numero possibile di volte la tasca.
La figura indica la disposizione delle mensole da appendere (per ogni mensola sono necessari 6 fori).

Sapendo che per ogni coppia di fori (uno sopra e uno sotto ogni staffa di montaggio, come mostrato nella figura) non è necessario spostare la tasca e che inizialmente la tasca si trova sotto i fori di sinistra, qual è il minimo numero SPOSTmin di spostamenti della tasca necessari?
E se le coppie di fori fossero N per mensola ed il numero di mensole fosse M, quale sarebbe il minimo numero di spostamenti SPOSTminNM, scrivendo l’espressione con N e M maiuscole e senza spazi?


Soluzioni ufficiali

Categorie zzz

OII 2018-11-15

6

Dato il seguente codice

calcolare il numero NUMRIP di volte per cui viene eseguito il ciclo finché…esegui.

In altre parole, calcolare il numero di volte che viene eseguito il blocco di codice tra le righe 5 e 10.
Nota: si ricorda che con (a mod b) va inteso il resto ottenuto dividendo a per b.

7

Ti viene data la seguente funzione, dove:

  • il parametro a è un array di numeri interi indicizzato a partire da 1,
  • il parametro N è un numero intero che rappresenta la dimensione dell’array a

indicare quale tra le seguenti affermazioni è FALSA:

  1. La funzione fun restituisce 23 se riceve in ingresso: a={1, 2, 6, 10, 22}, ed: N=5
  2. La funzione fun restituisce la massima somma di due elementi dell’array
  3. La funzione fun restituisce numeri sia pari sia dispari
  4. La funzione fun non può restituire valori inferiori a -2

8 (Annullato)

Si vuole scrivere una procedura che visualizzi a video una griglia 5×5 di numeri avente il contenuto seguente:

Il codice qui sotto dà per scontato:

  • che sia dichiarata una matrice mat di dimensione 5×5 composta da numeri interi, con gli indici che partono da 1 sia per le righe che per le colonne,
  • che per mandare a capo la stampa su schermo si possa usare l’istruzione scrivi(“↲”)

Nel codice sopra, come si può notare, manca un pezzo. Quale tra i seguenti pezzi è quello da inserire?

9

Date le seguenti due funzioni:

indicare quale valore RES viene restituito dalla chiamata secret(24, 3)

10

Dato il seguente pseudocodice:

Cosa si può dire della funzione fun?

  1. Non termina per alcun valore della coppia: (fiore, farfalla)
  2. Non termina soltanto quando: fiore = farfalla
  3. Termina sicuramente quando: fiore = farfalla
  4. Termina per ogni valore in cui: farfalla > fiore

11

Si considerino le seguenti due funzioni, che prendono in ingresso un numero intero maggiore o uguale a zero:

Indicare quale valore RES viene restituito dalla chiamata effe(10)

12

Data la seguente funzione:

indicare quale tra le seguenti espressioni è il valore che viene restituito se n ≥ 1

  1. (n+1)²
  2. (n-1)²
  3. n²+1
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Pseudocodice

Da Wikipedia

In informatica, nell’ambito della programmazione, per pseudocodice, pseudocodifica, pseudolinguaggio o linguaggio di progettazione si intende un linguaggio il cui scopo è la rappresentazione di algoritmi in alternativa al classico diagramma di flusso e non soggetto a molte limitazioni intrinseche di quest’ultimo tipo di rappresentazione. La stesura della pseudocodifica può precedere la codifica del programma scritto in un linguaggio di programmazione essendo spesso un linguaggio a metà tra la logica proposizionale e il linguaggio di programmazione vero e proprio.

Non esiste uno pseudolinguaggio standard e convenzionalmente usato: gli autori di libri o corsi di programmazione definiscono spesso un proprio pseudolinguaggio, utilizzato nelle loro pubblicazioni; inoltre ciascun programmatore può essere portato ad utilizzare una propria variante. Ogni pseudolinguaggio ha un proprio lessico, una propria sintassi e una propria semantica, ma la progettazione di questo tipo di formalismo è volta alla comprensibilità e alla leggibilità del codice; la sintassi sarà quindi meno rigorosa rispetto ad un vero linguaggio e le parole chiave saranno evocative, in modo da rendere più intuitiva la sua interpretazione.


RISORSE ONLINE

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Alcuni frattali realizzati al computer

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE – SEDE DI PORDENONE – Anno 1996/97

CORSO DI PERFEZIONAMENTO PER INSEGNANTI DELLE SCUOLE SECONDARIE
INDIRIZZO SCIENTIFICO – ORIENTAMENTO MATEMATICA

RELATORE: Prof. Fabio Zanolin
PERFEZIONANDO: Dott. Valentino Condoluci

Alcuni frattali realizzati al computer

  1. INTRODUZIONE
  2. FRATTALI
  3. AGGREGAZIONE – Simulazioni al computer – Diffusione – Pianta
  4. I PROGRAMMI – I files *.fra – Usare i programmi – Utilizzare le immagini – Esercizi
  5. BIBLIOGRAFIA

INTRODUZIONE

Questo breve lavoro si inserisce nel contesto dei MODELLI MATEMATICI PER LA BIOLOGIA, il modulo didattico di riferimento, per la sorprendente somiglianza delle immagini che si ottengono al computer con le forme riscontrabili soprattutto nel mondo vegetale.

Le forme che si ottengono sono dei frattali, oggetti che compaiono sempre più spesso negli ambiti più disparati.

Anche la biologia non è rimasta fuori da questa commistione tra formule complicatissime, previsioni apparentemente impossibili e grafici affascinanti che sembrano dare una risposta a tutto.

Tra i tanti frattali che possono rappresentare il fenomeno della crescita, ho evitato di trattare quelli più famosi (Koch, Sierpinski, Mandelbrot, Julia, ecc.) perché per la loro natura astratta non si prestano ad essere manipolati facilmente da studenti della scuola media superiore.


FRATTALI

IImage16l termine frattale è stato coniato da Mandelbrot nel 1975 che si è rifatto al latino fractus, frantumato, irregolare.

I frattali sono delle figure geometriche che sono irregolari in ogni loro parte ed il livello di irregolarità è uniforme a tutte le scale.
Questo significa che un frattale non cambia aspetto se viene osservato da vicino; se viene ingrandito a piacere vengono alla luce dettagli che si ripetono identici.
Un frattale è una figura geometrica autosimilare.

In natura abbiamo esempi evidenti di forme frattali in ambiti completamente diversi:

  • felci, cavolfiori, broccoli, …
  • nuvole, montagne, linee costiere, fulmini, galassie, …
  • neuroni, vasi sanguigni, …

Il frattale forse più famoso è l’insieme di Mandelbrot (chiamato da qualcuno uomo di marzapane) che si ottiene da un’equazione relativamente semplice che iterata al computer genera dei grafici di notevole complessità e altrettanto fascino.
In Italia è noto anche per il suo utilizzo nelle sigle di Quark.

Altri frattali derivano da entità matematiche già esistenti da decenni (in alcuni casi da qualche secolo) che sono risorte a nuova vita quando hanno originato grafici sorprendenti sullo schermo di un computer (per esempio l’insieme di Julia).


AGGREGAZIONE

Il modello di frattale del quale ci occupiamo è molto vicino al mondo reale ed è quello che ha origine dalla crescita per aggregazione. Questo fenomeno genera delle forme assimilabili ad una pianta, ad una radice, all’espandersi di un liquido.

Il principio sul quale si base è quello della passeggiata casuale seguita dall’aggregazione.

  • Supponiamo di trovarci sul bordo di una scacchiera molto grande e di muoverci facendo un passo alla volta in una delle caselle adiacenti nelle quattro direzioni. I movimenti devono essere casuali, cioè imprevedibili.
    Questa è la cosiddetta camminata dell’ubriacone (argomento di un Teorema di Calcolo delle Probabilità…).
  • aggiungiamo una regola alla passeggiata: se incontriamo qualcuno in una casella adiacente allora ci fermiamo e diventiamo parte integrante della struttura costituita da tutte le persone che partecipano al gioco.
    È necessario che almeno una persona inizi il gioco scegliendo per sé una posizione (non ha speranza di incontrare alcuno).

L’analogo in natura del gioco precedente può essere l’accrescimento di una radice che venendo a contatto con gocce d’acqua si prolunga nella loro direzione (la radice cresce in modo casuale nelle direzioni dove trova il nutrimento che si distribuisce nel terreno in modo casuale).

La cosa sorprendente è che cambiando di poco le regole del gioco riusciamo ad ottenere delle immagini che possono essere associate a quasi tutti i fenomeni naturali citati in precedenza.

SIMULAZIONI AL COMPUTER

Naturalmente anche noi preferiamo utilizzare il calcolatore per ottenere delle simulazioni accettabili di un fenomeno senza ricorrere ad esperimenti di laboratorio!

La nostra simulazione utilizza come scacchiera di gioco lo schermo con dimensione 640x480 VGAHi inizialmente di colore blu con un cerchio bianco al centro; le passeggiate sono rappresentate da un puntino (pixel) che parte da uno dei quattro lati e saltella tracciando una certa traiettoria (di colore ogni volta diverso) finché non incontra un altro pixel di colore bianco. A questo punto si ferma diventando esso stesso bianco.

La crescita è molto lenta se la singola passeggiata genera soltanto un pixel ma è una buona idealizzazione, per esempio, della deposizione di un metallo da una soluzione elettrolitica di ioni.

Per velocizzare la simulazione e per ottenere delle forme più verosimili il programma genera dei cerchi con raggio decrescente.

Nella figura seguente sono riconoscibili cinque grossi cerchi centrali, dieci medi, un certo numero di piccoli ed infine tantissimi minuscoli che rappresentano fedelmente lo spirito della simulazione.

Image17

Dal centro verso i bordi si riconoscono delle strutture diverse, dovute alla discontinuità dei parametri, che risultano verosimili se confrontate con delle radici.

Per ottenere una passeggiata casuale, cioè perché gli spostamenti del pixel siano imprevedibili usiamo il generatore di numeri casuali del linguaggio di programmazione (Turbo Pascal 6.0) che ci suggerirà, volta per volta, una delle quattro direzioni.

In realtà si rivela un cattivo suggeritore perché dopo qualche tempo riusciamo a riconoscere le traiettorie del pixel sullo schermo ed addirittura una certa somiglianza anche nella struttura di figure ottenute con parametri completamente diversi.

Per evitare l’eccessivo allontanamento dal centro possiamo introdurre un parametro che indichi quante volte il pixel deve scontrarsi con la figura prima di generare un cerchio, cioè simuliamo un certo numero di rimbalzi sulla superficie dell’aggregato. Anche questa regola è una semplice rappresentazione di una delle complicazioni che possono verificarsi nella realtà.

Image18

Effettivamente i cerchi di raggio minimo hanno seguito il profilo della figura ricoprendola in alcune zone con una struttura simile a quella delle alghe!

Image19Se però utilizziamo questo principio dall’inizio utilizzando un raggio costante minimo il tutto si risolve in un ispessimento dei rami senza una variazione significativa nella struttura generale.

Quest’ultima immagine ricorda il fenomeno delle eruzioni solari!

DIFFUSIONE

Una variante del modello di crescita precedente è quella che chiameremo crescita per diffusione.
Le particelle partono dall’interno della figura piuttosto che dall’esterno.
Questo rende il fenomeno forse più familiare se pensiamo alla diffusione di un liquido, come l’acqua, da una sorgente nello spazio circostante.

Le immagini che si ottengono risentono di questa variazione e risultano più compatte delle precedenti ma i fenomeni alla base sono identici e una scelta appropriata dei parametri può rendere i risultati simili.

Per aumentare la possibilità per il pixel di allontanarsi dal centro aumentiamo il numero di scontri necessari perché esso possa generare un cerchio sperando così che vada ad inserirsi in una protuberanza.

Image20

Questa immagine risulta troppo simmetrica rispetto alle sue diagonali per essere accettata come casuale ma è comunque notevole perché ricorda, nella forma, una razza!

PIANTA

L’aggregazione, con qualche modifica nelle regole, porta alla generazione di immagini molto simili a cespugli, radici o alberi.

Consideriamo il pixel come una goccia d’acqua che cade dall’alto con una traiettoria quasi verticale, piuttosto che tramite la solita passeggiata casuale in tutte le direzioni, ed il cerchio iniziale posizionato in basso piuttosto che al centro.
Le immagini che si ottengono hanno una crescita verso l’alto molto naturale.

Image21

Cambiando i parametri in modo da avere meno cerchi con raggio intermedio possiamo ottenere una patata non più commestibile!

Image22


I PROGRAMMI

I tre meccanismi di crescita differiscono per pochi particolari, come abbiamo visto, quindi è sufficiente realizzare il primo programma e poi ottenere gli altri variando poche istruzioni.

Non è prevista un‘interfaccia interattiva per elaborare le immagini quindi bisogna usare gli accorgimenti descritti successivamente.

L’ambiente di programmazione utilizzato è quello del Turbo Pascal 6.0 che produce programmi eseguibili in ambiente DOS.

AGGREGAZ.PAS – TRAMITE PASSEGGIATE CASUALI REALIZZA L’AGGREGAZIONE FRATTALE

DIFFUSIO.PAS – TRAMITE PASSEGGIATE CASUALI REALIZZA LA DIFFUSIONE FRATTALE

Rispetto al programma AGGREGAZ.PAS cambiano pochi passi:

I colori per le traiettorie sono Light piuttosto che Dark per semplificare la trasformazione in Bianco e Nero tramite MS Paint

Le passeggiate casuali partono dal centro dello schermo piuttosto che dai lati quindi scompare il blocco case Random(4) of ... end che diventa

Lo scontro avviene quando la passeggiata casuale incontra il Blue invece che il White

PIANTA.PAS – TRAMITE PASSEGGIATE CASUALI “SBILANCIATE” REALIZZA L’AGGREGAZIONE FRATTALE SIMULANDO LA CRESCITA DI UNA PIANTA

Rispetto al programma AGGREGAZ.PAS cambiano alcuni passi:

Le passeggiate casuali partono dal bordo destro dello schermo piuttosto che dall’alto per sfruttare meglio le dimensioni del monitor, quindi le piante crescono da sinistra verso destra.

Le regole per i singoli passi sono diverse perché l’eventuale contatto del pixel con il bordo superiore, sinistro o inferiore porta all’interruzione della passeggiata che riparte dal bordo destro; per esempio

La procedure PosizioneDiPartenza è stata introdotta per chiarezza per evitare di ripetere le tre istruzioni:

Il passo verso destra è sfavorito nel blocco case...of dandogli una sola etichetta su sette piuttosto che le due delle altre direzioni:

I FILE *.FRA

I files *.FRA, contenenti i parametri di ciascuna simulazione, sono stati introdotti per evitare di realizzare un’interfaccia utente con troppe richieste.

I parametri possono essere modificati, volta per volta, con un editor prima di lanciare le simulazioni per ottenere immagini più o meno realistiche.

Ogni file *.FRA deve essere presente nella stessa directory del corrispondente *.EXE e può essere modificato a condizione di rispettare la sua organizzazione.

Le prime sei righe iniziano con dati numerici obbligatori seguiti da commenti ininfluenti:

PrimoRaggio
Range1 Raggio1 Scontri1
Range2 Raggio2 Scontri2
Range3 Raggio3 Scontri3
Range4 Raggio4 Scontri4
Range5 Raggio5 Scontri5

PrimoRaggio è il raggio del cerchio iniziale. Le triple successive specificano a partire da quale cerchio, Range, si usa un certo Raggioaspettando, prima di disegnarlo, un certo numero di Scontri. Dopo che il cerchio Range5-esimo è stato disegnato le caratteristiche dei cerchi rimangono costanti.

Inoltre:

  • Scontri1..Scontri5 >= 1 (almeno uno scontro perché appaia un cerchio)
  • Range1 = 1 (non è modificabile…)
  • Se il raggio viene ridotto a 1 i cerchi diventano dei segni + con un effetto ombra.

I cinque livelli di intervento sui parametri sono risultati più che sufficienti.

USARE I PROGRAMMI

I programmi prevedono l’intervento dell’utente soltanto per terminare: premendo il tasto Esc la simulazione si interrompe ed appare il messaggio “Premi INVIO” in basso a destra.

In PIANTA.EXE la crescita avviene in orizzontale, da sinistra verso destra, piuttosto che in verticale per utilizzare al meglio le dimensioni dello schermo. L’immagine finale può essere ruotata con PAINT successivamente.

UTILIZZARE LE IMMAGINI

Quando l’immagine a video è soddisfacente può essere memorizzata premendo il tasto STAMP in alto a destra sulla tastiera; l’immagine attuale viene inserita negli Appunti di Windows è può essere elaborata successivamente, per esempio, con PAINT; il programma continua nella simulazione attuale in attesa del tasto Esc.

Se si utilizza MS PAINT, con

MODIFICA / INCOLLA

si ottiene l’ultima immagine salvata con STAMP.

I colori possono essere modificati a piacere oppure eliminati, come in questo lavoro, trasformando l’immagine in bianco e nero.
A questo scopo basta utilizzare le sequenze di comandi di menu:

IMMAGINE / INVERTI COLORI IMMAGINE / ATTRIBUTI / BIANCO E NERO.

Nel caso delle immagini ottenute con PIANTA.EXE è necessaria una rotazione di 270°.
Si ottiene con la sequenza:

IMMAGINE / ATTRIBUTI / 640 / 640
IMMAGINE / CAPOVOLGI-RUOTA / ROTAZIONE / 270
IMMAGINE / ATTRIBUTI / 480 / 640

Adesso l’immagine è pronta per essere salvata, modificata o stampata a piacere.

In alcuni casi l’immagine negli appunti è risultata danneggiata se altre applicazioni (il lettore di CD-ROM, Word, il salvaschermo) interferivano durante l’esecuzione.
È consigliabile chiudere tutte le applicazioni aperte prima di usare questi programmi se si intende catturare le immagini con STAMP.

ESERCIZI

Esercizio 1

Utilizzare come fattore di aggregazione il singolo pixel piuttosto che i cerchi con raggio decrescente. Si ottiene il frattale simile alla deposizione di un metallo.

Esercizio 2

Utilizzare una scacchiera di forma circolare piuttosto che rettangolare. In questo modo dovrebbero scomparire alcunesomiglianze nelle immagini dovute all’asimmetria delle passeggiate.

Esercizio 3

Introdurre un meccanismo per variare il colore dei cerchi in modo da avere informazioni sulla crescita in senso cronologico.

Esercizio 4

Utilizzare un generatore di numeri casuali con periodo più grande possibile (altrimenti le traiettorie del pixel sono riconoscibili!).

BIBLIOGRAFIA

I testi che riguardano i frattali in modo divulgativo, o quasi, sono tantissimi per un certo effetto moda che c’è stato qualche anno fa.

I seguenti sono sufficienti per destare perlomeno la curiosità in chiunque:

  1. Benoit Mandelbrot
    GLI OGGETTI FRATTALI – FORMA, CASO E DIMENSIONE
    Einaudi Paperbacks Scienza – 1987

    Un testo storico (1975) nel quale sono anticipati molti temi della geometria dei frattali.
  2. Leonard M. Sander
    L’ACCRESCIMENTO DEI FRATTALI
    Illustra il fenomeno della crescita per aggregazione.
    In
    Giulio Casati (a cura di)
    IL CAOS – LE LEGGI DEL DISORDINE
    Le scienze S.p.A. – 1991
    Una raccolta di articoli molto interessanti pubblicati sulla rivista Le Scienze. Belle le illustrazioni a colori.
  3. Benoit Mandelbrot
    I FRATTALI: UNA GEOMETRIA DELLA NATURA
    In
    Nina Hall (a cura di)
    CAOS – UNA SCIENZA PER IL MONDO REALE
    Muzzio Scienze – 1992
    Una raccolta di articoli pubblicati sulla rivista New Scientist. Applicazioni nella realtà della teoria del caos.

È possibile inoltre trovare facilmente dei programmi freeware o shareware (FractInt, per esempio) che realizzano i frattali più disparati.

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