Individuare la posizione di un certo elemento all’interno di una sequenza data.
L’algoritmo è illustrato con una codifica Pascal
Posizione di un valore k all’interno di un array v
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Function Posizione(V: Vettore; N: Integer; K: Real): Integer; Var i, Risp: Integer; Begin Risp:=0; For i:=1 to N do If(V[i] = K) Then Risp:=i; Posizione:=Risp; End; |
Restituisce la posizione dell’ultimo valore presente…
Posizione di un elemento (la prima…)
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Function Posizione(V: Vettore; N: Integer; K: Real): Integer; Var i, Risp: Integer; Begin i:=1; Risp:=0; While(i <= N) And (Risp = 0) Do Begin If(V[i] = K) Then Risp:=i; i:=i+1; End; Posizione:=Risp; End; |
Semplifico il ciclo
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Function Posizione(V: Vettore; N: Integer; K: Real): Integer; Var i: Integer; Begin i:=1; While(i <= N) And (V[i] <> K) Do i:=i+1; If(i > N) Then Posizione:=0 Else Posizione:=i; End; |
La ricerca sequenziale effettua una scansione dell’array finché non trova il valore richiesto, se presente, o l’array finisce.
Se l’array è ordinato e l’elemento non compare la ricerca sequenziale può essere interrotta se l’elemento esaminato è maggiore di quello cercato
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Function Posizione(V: Vettore; N: Integer; K: Real): Integer; Var i: Integer; Begin i:=1; While(i <= N) And (V[i] < K) Do i:=i+1; If(i > N) Or (V[i] > K) Then Posizione:=0 Else Posizione:=i; End; |
Complessità dell’algoritmo
Analisi della complessità, in tempo e asintotica, dell’algoritmo di ricerca sequenziale.
Il codice analizzato è il seguente
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Function ricercaSequenziale(V: Vettore; N: Integer; K: Real): Integer; Var i: Integer; Begin i:=1; (* 1 *) While(i <= N) And (V[i] <> K) Do (* 2, 3, 4 *) i:=i+1; (* 5, 6 *) If(i > N) Then (* 7 *) ricercaSequenziale:=0 (* 8 *) Else ricercaSequenziale:=i; (* 9 *) End; |
presenta operazioni di
- assegnamento: 1, 5, 8, 9
- confronto: 2, 4, 7
- aritmetico-logiche: 3, 6
Il tempo totale richiesto da questo sottoprogramma alla CPU è
con
- (T2+T3+T4+T5+T6), le operazioni svolte ad ogni passo del While
- x, il numero di volte che viene eseguito il While (da 0 a n)
- (T2+T3+T4), quando K viene individuato alla posizione i-esima oppure il vettore finisce
- T8|9, una delle due istruzioni finali
Per semplificare i calcoli si decide di trascurare le differenze esistenti tra i tempi di esecuzione delle diverse operazioni e di stabilire un tempo costante per tutte, allora
I valori effettivi di T sono
- vettore vuoto: T1+(T2+T3+T4)+T7+T8 = 6
- elemento in 1° posizione: T1+(T2+T3+T4)+T7+T9 = 6
- elemento in 2° posizione: T1+[T2+T3+T4+T5+T6]+(T2+T3+T4)+T7+T9 = 6+5*1 = 11
- elemento in 3° posizione: T1+[T2+T3+T4+T5+T6]*2+ … = 6+5*2 = 16
- …
- elemento in ultima posizione: 6+5*(n-1)
- elemento non presente: 6+5n
Analizziamo i casi più interessanti
- Caso ottimo, quando il vettore è vuoto oppure l’elemento K compare in 1° posizione: T=6
- Caso pessimo, se l’elemento K non è presente: T=6+5n
oppure se occupa l’ultima posizione… - Caso medio, supponiamo di effettuare n ricerche con l’elemento presente alle diverse posizioni: T=3.5+2.5n
Conclusioni
Il tempo richiesto dall’algoritmo di ricerca sequenziale è, tranne che nei casi banali, una funzione lineare di n, il numero di elementi presenti nel vettore
I valori delle due costanti c1 e c2 sono modesti e comunque poco significativi.
I calcoli per il caso medio
T=[(6+5*0)+(6+5*1)+(6+5*2)+...+(6+5(n-1))]/n
=[6n+5(1+2+...+n-1)]/n
=[6n+5(n-1)*n/2]/n
=6+5(n-1)/2
=6+5/2*n-5/2
=7/2+5/2*n
=3.5+2.5*n