E.S. 2013 – 5 – PNI

In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1,14%) mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè del 0,76%)”.

È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

Un aumento del 0,38% per le 3 dimensioni della valigia

x\rightarrow x+\frac{0,38}{100}x=1,0038x

y\rightarrow y+\frac{0,38}{100}y=1,0038y

z\rightarrow z+\frac{0,38}{100}z=1,0038z

comporta per il volume

xyz\rightarrow (1,0038)^3xyz\approx 1,0114\cdot xyz (+1,14%)

Analogamente per la superficie

2(xy+xz+yz)\rightarrow (1,0038)^2\cdot2(xy+xz+yz)\approx 1,0076\cdot2(xy+xz+yz) (+0,76%)


Sia x=100

\Delta x x+\Delta x (x+\Delta x)^2 x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2 x^2\cdot\left(1+2\left(\frac{\Delta x}{x}\right)+\left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2\right)
0,1 100,1 10.020,01
(+0,2001%)
+10.000
+20
+0,01
+10.000*1
+10.000*0,002
+10.000*0,000001
1,0 101,0 10.201,00
(+2,01%)
+10.000
+200
+1
+10.000*1
+10.000*0,02
+10.000*0,0001
10 110,0 12.100,00
(+21%)
+10.000
+2.000
+100
+10.000*1
+10.000*0,2
+10.000*0,01
\Delta x x+\Delta x (x+\Delta x)^3 x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3 x^3\cdot\left(1+3\left(\frac{\Delta x}{x}\right)+3\left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\Delta x}{x}\right)^3\right)
0,1 100,1 1.003.003,001
(+0,3003001%)
+1.000.000
+3000
+3
+0,001
+1.000.000*1
+1.000.000*0,003
+1.000.000*0,000003
+1.000.000*0,000000001
1,0 101,0 1.030.301
(+3,0301%)
+1.000.000
+30.000
+300
+1
+1.000.000*1
+1.000.000*0,03
+1.000.000*0,0003
+1.000.000*0,000001
10 110,0 1.331.000
(+33,1%)
+1.000.000
+300.000
+30.000
+1.000
+1.000.000*1
+1.000.000*0,3
+1.000.000*0,03
+1.000.000*0,001

E.S. 2013 – 5

In un libro si legge: “Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano conto che a un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% oppure del 25%) corrispondano aumenti di capacità (volume) di circa il 33% (oppure 75% oppure 100%: raddoppio)”.

È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

E.S. 2013 – 5 – P.N.I.

In un libro si legge: “se per la dilatazione corrispondente a un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per es. 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell’1,14%) mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè del 0,76%)”.

È così? Si motivi esaurientemente la risposta.

Un aumento del 10% per le 3 dimensioni

  • x\rightarrow x+\frac{10}{100}x=\frac{110}{100}x
  • y\rightarrow y+\frac{10}{100}y=\frac{110}{100}y
  • z\rightarrow z+\frac{10}{100}z=\frac{110}{100}z

comporta per il volume

xyz\rightarrow \frac{110}{100}x\cdot \frac{110}{100}y\cdot \frac{110}{100}z=\left(\frac{110}{100}\right)^3xyz\approx \frac{133}{100}\cdot xyz (+33%)

Analogamente per aumenti del 20% e del 25%

xyz\rightarrow \left(\frac{120}{100}\right)^3xyz\approx \frac{173}{100}\cdot xyz (+73%)

xyz\rightarrow \left(\frac{125}{100}\right)^3xy z\approx\frac{195}{100}\cdot xyz (+95%)

Un aumento del 0,38% per le 3 dimensioni

x\rightarrow x+\frac{0,38}{100}x=1,0038x

y\rightarrow y+\frac{0,38}{100}y=1,0038y

z\rightarrow z+\frac{0,38}{100}z=1,0038z

comporta per il volume

xyz\rightarrow (1,0038)^3xyz\approx 1,0114\cdot xyz (+1,14%)

Analogamente per la superficie

2(xy+xz+yz)\rightarrow (1,0038)^2\cdot2(xy+xz+yz)\approx 1,0076\cdot2(xy+xz+yz) (+0,76%)



Sia x=100

\Delta x x+\Delta x (x+\Delta x)^2 x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2 x^2\cdot\left(1+2\left(\frac{\Delta x}{x}\right)+\left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2\right)
0,1 100,1 10.020,01
(+0,2001%)
+10.000
+20
+0,01
+10.000*1
+10.000*0,002
+10.000*0,000001
1,0 101,0 10.201,00
(+2,01%)
+10.000
+200
+1
+10.000*1
+10.000*0,02
+10.000*0,0001
10 110,0 12.100,00
(+21%)
+10.000
+2.000
+100
+10.000*1
+10.000*0,2
+10.000*0,01
\Delta x x+\Delta x (x+\Delta x)^3 x^3+3x^2\Delta x+3x(\Delta x)^2+(\Delta x)^3 x^3\cdot\left(1+3\left(\frac{\Delta x}{x}\right)+3\left(\frac{\Delta x}{x}\right)^2+\left(\frac{\Delta x}{x}\right)^3\right)
0,1 100,1 1.003.003,001
(+0,3003001%)
+1.000.000
+3000
+3
+0,001
+1.000.000*1
+1.000.000*0,003
+1.000.000*0,000003
+1.000.000*0,000000001
1,0 101,0 1.030.301
(+3,0301%)
+1.000.000
+30.000
+300
+1
+1.000.000*1
+1.000.000*0,03
+1.000.000*0,0003
+1.000.000*0,000001
10 110,0 1.331.000
(+33,1%)
+1.000.000
+300.000
+30.000
+1.000
+1.000.000*1
+1.000.000*0,3
+1.000.000*0,03
+1.000.000*0,001