Metodo babilonese – ValCon

L’algoritmo è noto come metodo babilonese oppure di Archita, di Erone, …

Sia n, con n > 4, il numero in ingresso e x la sua radice quadrata allora 2 < x < n

Prima approssimazione: $x_1=\frac{n}{2}$

$2 < x < x_1 < n$

Seconda approssimazione: $x_2=\frac{n}{x_1}$

$x_1 \cdot x_2 = n$

$2=x_2 < x < x_1 < n$

Terza approssimazione: $x_3=\frac{x_1+x_2}{2}$

$x_2 < x_3 < x_1$

Ripeti i calcoli con $x_4=x_3$ , la media calcolata nel passaggio precedente

$x_4=x_3$

$\displaystyle x_5=\frac{n}{x_4}$

$\displaystyle x_6=\frac{x_4+x_5}{2}$

Ripeti …

n=256

Osserva

In prima colonna, $x_A$ : un’approssimazione della radice che nella prima riga è n/2 e successivamente sarà il valore in ultima colonna della riga precedente
In seconda colonna, $x_B$ : la divisione tra …
In terza colonna, $x_M$ : la media aritmetica tra …

Osserva lo schema a destra (n > 4)

A ogni iterazione

Se rappresenti graficamente i valori dell’esempio precedente

L’algoritmo funziona per qualsiasi valore di n (positivo…) e per qualsiasi approssimazione iniziale (positiva…)

A ogni passo

Nei primi passi $x_A$ e $x_B$ potrebbero scambiarsi di posto ma poi tutto continuerà come prima.

Per decidere quando fermare l’iterazione si può stabilire un valore soglia ε e fermare l’iterazione quando l’errore è minore di ε

Si può scegliere tra

Errore assoluto, $E_a=|x_A-x_M|$ , distanza tra due soluzioni successive
Errore relativo: $\displaystyle E_r=\frac{|x_A-x_M|}{x_M}$ , errore in rapporto all’ultima approssimazione
Si usa se l’ordine di grandezza dei numeri in gioco è molto alto o molto basso

n=256

Le 6 colonne precedenti si possono ridurre a 2

n=256