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Appunti

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Legge empirica del caso

Quando si ripete molte volte una prova aleatoria, la frequenza relativa di un esito, f_r=\frac{N_e}{N}, è molto simile alla probabilità a priori, p=\frac{n_e}{n}, di quell’esito

f_r \approx p, \frac{N_e}{N} \approx \frac{n_e}{n}

quindi

N_e \approx p\cdot N

Quando si ripete molte volte una prova aleatoria, il numero di volte che si verifica un certo esito è molto simile al prodotto tra la sua probabilità a priori e il numero totale di prove

Legge dei grandi numeri (teorema di Bernoulli)

…

Media troncata

La media aritmetica dei dati escludendo un numero di valori minimi e massimi corrispondente a una percentuale specificata

Media armonica

\displaystyle \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}

Media geometrica

\displaystyle \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}

Media delle deviazioni assolute

\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-\overline{x}}|

\sum_{i}\ p_i\ |x_i-\overline{x}}|

Varianza

var(x)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2

var(x)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i\ (x_i-\overline{x})^2

var(X)=\sum_i \ p_i\ (x_i-\overline{x})^2

var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

Deviazione standard, scarto quadratico medio

\sigma_X=\sqrt { \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n} }

Deviazione standard relativa (coefficiente di variazione)

\sigma^{*}_X=\frac{\sigma_X}{|\overline{x}|}}

Consente di effettuare confronti tra dispersioni di dati di tipo diverso, indipendentemente dalle loro quantità assolute.

Media

\overline{x}=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i

\overline{x}=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i\ x_i (con frequenze assolute)

\overline{x}=\displaystyle \sum_{i=1}^k f_i\ x_i (con frequenze relative)

\overline{x}=\sum_{i} \ p_i\ x_i (con probabilità)

Mediana

L’elemento al centro dell’elenco ordinato.
Se il numero dei valori è dispari, la mediana sarà il numero centrale dell’insieme, mentre se è pari sarà la media tra i due valori centrali.

Moda

Il valore più comune di un campione.
[Foglio di calcolo] Se sono presenti più valori con la stessa frequenza, è quello più piccolo.
Se nessun valore compare due volte, non esiste.

Media troncata

La media aritmetica dei dati escludendo un numero di valori minimi e massimi corrispondente a una percentuale specificata

Media armonica

\displaystyle \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}

Media geometrica

\displaystyle \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}

Media delle deviazioni assolute

\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n |x_i-\overline{x}}|

\sum_{i}\ p_i\ |x_i-\overline{x}}|

Varianza

var(x)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2

var(x)=\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^k n_i\ (x_i-\overline{x})^2

var(X)=\sum_i \ p_i\ (x_i-\overline{x})^2

var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2

Deviazione standard, scarto quadratico medio

\sigma_X=\sqrt { \frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}{n} }

Deviazione standard relativa (coefficiente di variazione)

\sigma^{*}_X=\frac{\sigma_X}{|\overline{x}|}}

Consente di effettuare confronti tra dispersioni di dati di tipo diverso, indipendentemente dalle loro quantità assolute.

 

La media delle deviazioni…

\overline{x-\overline{x}} = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x}}) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i- \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \overline{x}} = \overline{x}- \frac{1}{n}\cdot n\cdot \overline{x}} = 0

La media di aX…

\overline{a\cdot x} = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a\cdot x_i = a\cdot \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = a \cdot \overline{x}

La media di X+b…

\overline{x+b} = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+b) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i+\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b = \overline{x}+b

La varianza di aX…

var(a \cdot x) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a\cdot x_i-\overline{a \cdot x}})^2 = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a^2\cdot x_i^2-2a\cdot\overline{a \cdot x} +{\overline{a \cdot x}^2) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a^2\cdot x_i^2-2a^2\cdot\overline{x} +a^2\cdot{\overline{x}^2) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a^2(x_i^2-2\cdot\overline{x} +{\overline{x}^2) = a^2 \cdot\displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 = a^2 \cdot var(x)

La varianza di X+b…

var(x+b) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+b-\overline{x+b})^2 = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i+b-\overline{x}-b)^2 = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 = var(x)

La varianza di X…

var(x) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2 = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i^2-2x_i\cdot \overline{x} + \overline{x}^2) = \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^2-2\overline{x}\cdot \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i+ \displaystyle \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \overline{x}^2 = \overline{x^2}-2\overline{x}\overline{x}+ \frac{1}{n}\cdot n\cdot \overline{x}^2 = \overline{x^2}-\overline{x}^2

Vedi

  1. Funzioni dei fogli di calcolo: Medie… – Statistica
  2. Olimpiadi del Problem Solving: Statistica elementare

Carattere

  • Carattere qualitativo sconnesso (scala nominale): sesso, religione, luogo di nascita, colore degli occhi, …
  • Carattere qualitativo ordinato (scala ordinale): titolo di studio, anno di corso, grado di soddisfazione, …
  • Carattere quantitativo discreto: numero di figli, numero di dipendenti, numero di eventi, …
  • Carattere quantitativo continuo: peso, altezza, reddito, durata, …

Quartili

  • Il primo quartile è un numero tale che il 25% dei dati è inferiore e il 75% è superiore.
  • Il terzo quartile è un numero tale che il 75% dei dati è inferiore e il 25% è superiore.
  • I quartili insieme alla mediana dividono i dati in 4 parti ciascuna contenente un quarto dei dati.
  • La differenza fra il primo e il terzo quartile si dice distanza interquartilica.

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