Disposizioni con ripetizione

2023-08-012018-03-27 di admin

Dati n oggetti tutti diversi (A, B, C, …) in quanti modi diversi si possono elencare k a k?

Oppure

Numero di disposizioni con ripetizione di n oggetti k a k?
Numero di funzioni da un insieme di cardinalità k in uno di cardinalità n?
Numero di parole di lunghezza k utilizzando un alfabeto di n caratteri

Prova…

Oggetti	k = 1		k = 2		k = 3		k = 4	k = 5
{A}	`A`	1	`AA`	1	`AAA`	1	`AAAA`	`AAAAA`
{A, B}	`A` `B`	2	`AA AB` `BA BB`	4	`AAA AAB ABA ABB` `BAA BAB BBA BBB`	8	`AAAA ...` `BAAA ...`	`AAAAA ...` `BAAAA ...`
{A, B, C}	`A` `B` `C`	3	`AA AB AC` `BA BB BC` `CA CB CC`	9	`AAA AAB AAC ABA ABB ABC ACA ACB ACC` `BAA BAB BAC BBA BBB BBC BCA BCB BCC` `CAA CAB CAC CBA CBB CBC CCA CCB CCC`	27	`AAAA ...` `BAAA ...` `CAAA ...`	`AAAAA ...` `BAAAA ...` `CAAAA ...`
{A, B, C, D}	`A` `B` `C` `D`	4	`AA AB AC AD` `BA BB BC BD` `CA CB CC CD` `DA DB DC DD`	16	`AAA ...` `BAA ...` `CAA ...` `DAA ...`	64	`AAAA ...` `BAAA ...` `CAAA ...` `DAAA ...`	`AAAAA ...` `BAAAA ...` `CAAAA ...` `DAAAA ...`
{A, B, C, D, E}	`A` `B` `C` `D` `E`	5	`AA AB AC AD AE BA BB BC BD BE CA CB CC CD CE DA DB DC DD DE` `EA EB EC ED EE`	25	`AAA ...` `BAA ...` `CAA ...` `DAA ...` `EAA ...`	125	`AAAA ...` `BAAA ...` `CAAA ...` `DAAA ...` `EAAA ...`	`AAAAA ...` `BAAAA ...` `CAAAA ...` `DAAAA ...` `EAAAA ...`

Osserva

La 1° scelta può essere una tra n
La 2° scelta può essere una tra n
La 3° scelta può essere una tra n
…
La k-esima scelta può essere una tra n

Quindi

$n\cdot n \cdot n \cdot\cdot\cdot n$ (k volte)
$\displaystyle n^k$

n	k = 1		k = 2		k = 3		k = 4		k = 5
	$n^1$		$n^2$		$n^3$		$n^4$		$n^5$
1	$1^1$	= 1	$1^2$	= 1	$1^3$	= 1	$1^4$	= 1	$1^5$	= 1
2	$2^1$	= 2	$2^2$	= 4	$2^3$	= 8	$2^4$	= 16	$2^5$	= 32
3	$3^1$	= 3	$3^2$	= 9	$3^3$	= 27	$3^4$	= 81	$3^5$	= 243
4	$4^1$	= 4	$4^2$	= 16	$4^3$	= 64	$4^4$	= 256	$4^5$	= 1024
5	$5^1$	= 5	$5^2$	= 25	$5^3$	= 125	$5^4$	= 625	$5^5$	= 3125