Il test del DNA

In un caso di omicidio, sulla scena del crimine è stata ritrovata una traccia di DNA.
Il perito, nell’aula di tribunale, testimonia che quel particolare profilo di DNA si presenta con una probabilità dello 0,0001%.
Se è presente tale profilo, l’analisi del DNA lo identifica con certezza.
I falsi positivi accadono con probabilità 0,3%.

L’analisi svolta sulla traccia ha rivelato una corrispondenza con il DNA dell’imputato.

Il 54,5% degli studenti di legge interrogati in merito a questo caso hanno giudicato l’imputato colpevole.

Hai a disposizione 100 euro.
Quanti ne scommetteresti su “L’imputato è colpevole”?


Sia

  • A = “profilo presente”
  • P = “test positivo”
  • \overline{P} = “test negativo”

allora

Test positivo
con profilo presente
\displaystyle p(P\ |\ A)= 1
Test positivo
con profilo NON presente
\displaystyle p(P\ |\ \overline{A})= \displaystyle \frac{3}{1.000}= 0,003
Profilo presente\displaystyle p(A)= \displaystyle \frac{1}{1.000.000}= 0,000001
Test negativo
con profilo presente
\displaystyle p(\overline{P}\ |\ A)= 0
Test negativo
con profilo NON presente
\displaystyle p(\overline{P}\ |\ \overline{A})= \displaystyle \frac{997}{1000}= 0,997
Profilo NON presente\displaystyle p(\overline{A})= \displaystyle \frac{999.999}{1.000.000}= 0,999999
Test positivo\displaystyle p(P) = \displaystyle p(A)\cdot p(P\ |\ A) + p( \overline{A} )\cdot p(P \ |\ \overline{A})
= \displaystyle \frac{1}{1.000.000} \cdot 1 + \frac{999.999}{1.000.000} \cdot \frac{3}{1.000} = \displaystyle \frac{3.000.997}{1.000.000.000}= 0,003000997
Profilo presente
se test positivo
\displaystyle p(A\ |\ P)= \displaystyle \frac{p(A)\cdot p(P\ |\ A)}{p(P)} = \displaystyle \frac{p(A)\cdot p(P\ |\ A)}{p(A)\cdot p(P\ |\ A) + p( \overline{A} )\cdot p(P \ |\ \overline{A})}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{1.000.000} \cdot 1}{\displaystyle \frac{1}{1.000.000} \cdot 1 + \frac{999.999}{1.000.000} \cdot \frac{3}{1.000}} = \displaystyle \frac{1000}{3.000.997}= 0,00033322259
Profilo NON presente
se test positivo
\displaystyle p(\overline{A}\ |\ P)= \displaystyle \frac{p(\overline{A})\cdot p(P\ |\ \overline{A})}{p(P)} = \displaystyle \frac{p(\overline{A})\cdot p(P\ |\ \overline{A})}{p(A)\cdot p(P\ |\ A) + p( \overline{A} )\cdot p(P \ |\ \overline{A})}
= \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{999.999}{1.000.000} \cdot \frac{3}{1.000}}{\displaystyle \frac{1}{1.000.000} \cdot 1 + \frac{999.999}{1.000.000} \cdot \frac{3}{1.000}}\displaystyle \frac{2.999.997}{3.000.997}= 0,99966677741