Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza.
I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente.
A e B hanno probabilità p (0<p<1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta.
- Si calcoli la probabilità che l’imputato sia assolto.
- Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D che ha una probabilità di decidere per l’assoluzione p’≠p (0<p'<1), si verifichi che la probabilità di assoluzione per l’imputato è maggiore che nel caso precedente se e solo se p’ > 1/2.
1: Imputato assolto
- Imputato assolto = (A assolve e B assolve e C assolve) oppure (A assolve e B assolve e C condanna) oppure (A assolve e B condanna e C assolve) oppure (A condanna e B assolve e C assolve)
- p(“Imputato assolto”) = p[(A assolve ∩ B assolve ∩ C assolve) ∪ (A assolve ∩ B assolve ∩ C condanna) ∪ (A assolve ∩ B condanna ∩ C assolve) ∪ (A condanna ∩ B assolve ∩ C assolve)]
= p(A assolve ∩ B assolve ∩ C assolve) + p(A assolve ∩ B assolve ∩ C condanna) + p(A assolve ∩ B condanna ∩ C assolve) + p(A condanna ∩ B assolve ∩ C assolve)
=
= p
2: Giurato D…
- p(“Imputato assolto”) = …
= p·p·p’ + p·p·(1-p’) +p(1-p)p’+(1-p)pp’
= p²+2pp’-2p²p’ - p²+2pp’-2p²p’ > p
…
p > 1/2