Esame di Stato 1993 PNI – 3

Un imputato innocente deve essere giudicato da una giuria composta da tre giurati il cui verdetto finale è raggiunto a maggioranza.
I tre giurati A, B e C assumono la loro decisione indipendentemente.
A e B hanno probabilità p (0<p<1) di decidere per l’assoluzione, mentre il giurato C decide in base al risultato ottenuto nel lancio di una moneta.

  1. Si calcoli la probabilità che l’imputato sia assolto.
  2. Supponendo di sostituire il giurato C con un altro giurato D che ha una probabilità di decidere per l’assoluzione p’≠p (0<p'<1), si verifichi che la probabilità di assoluzione per l’imputato è maggiore che nel caso precedente se e solo se p’ > 1/2.

1: Imputato assolto

  • Imputato assolto = (A assolve e B assolve e C assolve) oppure (A assolve e B assolve e C condanna) oppure (A assolve e B condanna e C assolve) oppure (A condanna e B assolve e C assolve)
  • p(“Imputato assolto”) = p[(A assolve ∩ B assolve ∩ C assolve) ∪ (A assolve ∩ B assolve ∩ C condanna) ∪ (A assolve ∩ B condanna ∩ C assolve) ∪ (A condanna ∩ B assolve ∩ C assolve)]
    = p(A assolve ∩ B assolve ∩ C assolve) + p(A assolve ∩ B assolve ∩ C condanna) + p(A assolve ∩ B condanna ∩ C assolve) + p(A condanna ∩ B assolve ∩ C assolve)
    = p\cdot p\cdot \frac{1}{2}+p\cdot p\cdot \frac{1}{2}+p\cdot (1-p)\cdot \frac{1}{2}+(1-p)\cdot p\cdot \frac{1}{2}
    = p

2: Giurato D…

  • p(“Imputato assolto”) = …
    = p·p·p’ + p·p·(1-p’) +p(1-p)p’+(1-p)pp’
    = p²+2pp’-2p²p’
  • p²+2pp’-2p²p’ > p

    p > 1/2