Esame di Stato 1997 Suppletiva PNI – 3

La distribuzione di Poisson descrive molto bene il conteggio delle disintegrazioni di un campione di nuclidi se il campione è sufficientemente numeroso.
Un campione radioattivo contengo 2·1010 nuclidi ciascuno dei quali ha una probabilità p=10-10 di decadere in un secondo.
Calcolare

  1. il numero medio atteso di decadimenti al secondo;
  2. le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo;
  3. la probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo.

Distribuzione di Poisson

  • p(X=x) = f(x) = e^{-\lambda}\ \frac{\lambda^k}{k!}

1. Il numero medio atteso di decadimenti al secondo

  • n = 2·1010
  • p = 10-10
  • λ = np = 2·1010·10-10 = 2

2. Le probabilità di osservare 0, 1, 2, 3, 4 decadimenti in un secondo

  • p(X=x) = f(x) = e^{-2}\ \frac{2^k}{k!}
  • p(X=0) = e-2
  • p(X=1) = 2·e-2
  • p(X=2) = 2·e-2
  • p(X=3) = 4/3·e-2
  • p(X=4) = 2/3·e-2

3. La probabilità di osservare più di 4 decadimenti al secondo

  • p(X ≤ 4) = p(X=0)+p(X=1)+p(X=2)+p(X=3)+p(X=4) = 7·e-2
  • p(X > 4) = 1-p(X ≤ 4) = 1-7·e-2 = 0,05265…