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Il seguente è uno dei celebri problemi del Cavaliere di Méré (1610-1685), amico di Blaise Pascal: “giocando a dadi è più probabile ottenere almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado, oppure almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi?”

Considera le probabilità dei seguenti eventi con il lancio di un dado

  • 1 con un lancio: \frac{1}{6}
  • Diverso da 1 con un lancio: \frac{5}{6}
  • Diverso da 1 con 4 lanci: \left(\frac{5}{6}\right)^4
  • Almeno una volta 1 con 4 lanci: 1-\left(\frac{5}{6}\right)^4 = 0,5177… = 51,77…%

e con il lancio di 2 dadi

  • Un doppio 1 con un lancio: \frac{1}{36}
  • Diverso da un doppio 1 con un lancio: \frac{35}{36}
  • Diverso da un doppio 1 con 24 lanci: \left(\frac{35}{36}\right)^{24}
  • Almeno una volta un doppio 1 con 24 lanci: 1-\left(\frac{35}{36}\right)^{24} = 0,4914… = 49,14…%

Quindi è più probabile ottenere “almeno una volta 1 con 4 lanci di un solo dado” che “almeno un doppio 1 con 24 lanci di due dadi”.

Esercizio 1

Tutte le probabilità di ottenere un certo numero di volte 1 con 4 lanci

  • p(0) = {4 \choose 0}\left(\frac{1}{6}\right)^0\left(\frac{5}{6}\right)^4 = \displaystyle \frac{5^4}{6^4}
  • p(1) = {4 \choose 1}\left(\frac{1}{6}\right)^1\left(\frac{5}{6}\right)^3 = \displaystyle 4 \cdot \frac{5^3}{6^4}
  • p(2) = {4 \choose 2}\left(\frac{1}{6}\right)^2\left(\frac{5}{6}\right)^2 = \displaystyle 6 \cdot \frac{5^2}{6^4}
  • p(3) = {4 \choose 3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^1 = \displaystyle 4 \cdot \frac{5}{6^4}
  • p(4) = {4 \choose 4}\left(\frac{1}{6}\right)^4\left(\frac{5}{6}\right)^0 = \displaystyle \frac{1}{6^4}

Esercizio 2

Tutte le probabilità di ottenere un certo numero di volte un doppio 1 con 24 lanci di due dadi

  • p(0) = {24 \choose 0}\left(\frac{1}{36}\right)^0\left(\frac{35}{36}\right)^{24} = \displaystyle \frac{35^{24}}{36^{24}}
  • p(1) = {24 \choose 1}\left(\frac{1}{36}\right)^1\left(\frac{35}{36}\right)^{23} = \displaystyle 24\cdot \frac{35^{23}}{36^{24}}
  • p(2) = {24 \choose 2}\left(\frac{1}{36}\right)^2\left(\frac{35}{36}\right)^{22}\displaystyle 276\cdot \frac{35^{22}}{36^{24}}
  • p(24) = {24 \choose 24}\left(\frac{1}{36}\right)^{24}\left(\frac{35}{36}\right)^0 = \displaystyle \frac{1}{36^{24}}